次の問題を教えてください

質問

cosθ-(cos^2θ)/2+(cos^3θ)/3-(cos^4θ)/4+.....=log2+2log(cosθ/2) (-π<θ<π)
となるように示せとゆう問題をおしえてください

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

こんばんは。

まずは問題を忘れて、以下のような簡単な等比級数を考えましょう。

　(1)　　Σ [k=1→n] x^(k-1) = (1 - x^n) / (1 - x)

高校の数列で習う公式ですね。
ここで、【 |x| < 1 】のとき(1)式は n → ∞ で収束します。
すなわち、無限級数

　(2)　　Σ [k=1→∞] x^(k-1) = 1 / (1 - x)

です。次に、(2)式の両辺を積分してみましょう。
積分範囲は適当に、 0 → x とでもしておきます。すると、

　(3)　　∫ [0→x] Σ [k=1→∞] x^(k-1) dx = ∫ [0→x] 1 / (1 - x) dx
　　　　　　⇔　Σ [k=1→∞] ( x^k / k ) = -log(1-x)

となりました。ここで x = -x に置き換えると、

　(3)　　Σ [k=1→∞] { (-x)^k / k } = -log(1+x)
　　　　　　⇔　Σ [k=1→∞] {( (-1)^(k-1) x^k ) / k } = log(1+x)

という見づらい（＾＾；）式が得られました。
さて、いよいよ問題に戻りましょう。問題の式の左辺は、

　(4)　　f = cos(θ) - cos2(θ)/2 + cos3(θ)/3 - cos4(θ)/4 + …

という形です。ここで、cos(θ) = x と置きましょう。
ただし、-π < θ < π という条件があるので、【 -1 < x < 1 】です。

　(5)　　f = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 - x^4 / 4 + …
　　　　　　=　Σ [k=1→∞] {( (-1)^(k-1) x^k ) / k }

これはまさしく(3)式の左辺そのものですね。
【 -1 < x < 1 】ですから、(2)式に用いた条件【 |x| < 1 】も満たしています。
ということは以下のように変形できるわけです。

　(6)　　f = cos(θ) - cos2(θ)/2 + cos3(θ)/3 - cos4(θ)/4 + …
　　　　　　=　log(1 + cos(θ))

ここで、cos の半角の公式より

　(7)　　cos2(θ/2) = { 1 + cos(θ) } / 2
　　　　　　⇔　1 + cos(θ) = 2 cos2(θ/2)

ですから、これを(7)式に代入すれば、

　(8)　　f = log{ 2 cos2(θ/2) }
　　　　　　= log(2) + 2 log( cos(θ/2) )

という結果が得られます。
Σやら∫やら指数やらが入り乱れて非常に見づらいですが、
頑張って解読して下さい。。。

お礼

回答ありがとうございます
詳しく説明していただき、よく理解できました

回答No.2

alice_44

A No.1 に、級数を項ごと別々に積分してよい理由を
添えれば、完璧だと思います。
無限級数を総和する極限操作と、積分という極限操作の間で
lim の順序交換が起こるので、
交換が許されるためには、lim の一様性について
断っておく必要があるのです。
巾級数が収束円内で一様絶対収束することを言えば
十分です。

お礼

回答ありがとうございます
わかりました、やってみます。