次の問題を教えてください

質問

1-tan^2θ+tan^4θ-tan^6θ+.....=cos^2θ　（-π/4<θ<π/4)
を示せとゆう問題を教えてください

回答No.3

noname#224896 · ベストアンサー

これは，証明問題のようですね．

題意の左辺は，
初項　１
公比　-(tanθ)^2の等比数列の無限和 と看做せる．
よって，
n→∞ lim (1+ (tanθ)^2}^{n} ) / { 1+ (tanθ)^2 } = cos θ　．．．(1)

-π/4<θ<π/4では，　-1<tanθ< 1より，(1)式は，
　1 / { 1+ (tanθ)^2 } = cos θ　．．．(2)

となる．

１＋ (tanθ)^2 ＝{ (cosθ)^2 + (sinθ)^2 } /(cosθ)^2＝1/(cosθ)^2より，
(2)式は，次のようになる．

（左辺）＝(cosθ)^2
（右辺）＝(cosθ)^2

∴　1-tan^2θ+tan^4θ-tan^6θ+.....=cos^2θ　（-π/4<θ<π/4)
上記の式が成り立つことが証明された．[ 証明終 ] 　　．．．（解答）

お礼

回答ありがとうございます
理解できました

回答No.5

noname#224896

途中式に（cosθ）^2とするところを
cosθ としていました．
申し訳ありません．ミスがありました．
コピペによる連鎖ミスを訂正し，
無限級数の和に関して，
収束して０になることを明示しました．

【この問題に関して，知識だけでなく，理解していなければならない分野】
１．三角関数の値の範囲
２．無限級数の和（第ｎ項まで求めた，等比数列の和で，ｎ→∞とすれば良い）
３．三角関数の関係式

以下，ザックリと，解いた手順を書きます（といっても解いている途中で，必要だから思い付くのです）．
この問題は，まず，証明問題ということ．
１．示された式が，どうにかならないか，考えます．
２．右辺は，どうしようもないです．
３．そうなれば，左辺をどうにかすれば，右辺になるように目標を立てて，式をどんどん，接続詞等を遣いながら，変形や代入したりします．
４．右辺をよく見ると，-(tanθ)^2が次々と項を進む毎に，掛かっている和であることに気付きます．
５．右辺の最後が無いので，『あ～，無限に足していくのだな』と思い，『無限級数の和』だと気付きます．
６．条件が，-π/4<θ<π/4とあるので， －１＜tanθ＜１だと解る．
７．先ず，等比数列の第ｎ項までの和を求める．
８．すると，うまく，分子が　１＋{(tanθ)^2}^2となっていることに，着目します．
９．-π/4<θ<π/4より，－１＜tanθ＜１，
　　つまり，０≦{ (tanθ)^2}^n＜１　となりｎ→∞とすると，{ (tanθ)^2}^n→０となります．
１０．すると，後は，三角関数の関係式を利用して，整理すると，（証明すべき式の左辺）のは，（証明すべき式の右辺）となります．
１１．　上記１０．のことをハッキリ書いて，「証明終わり」等，証明が終了したことを記述して，この問題は終了です．

【訂正回答】
====================================================
題意の左辺は，
初項　１
公比　-(tanθ)^2の等比数列の無限級数の和 と見なせる．
よって，
n→∞ lim (1+ {(tanθ)^2}^n ) / { 1+ (tanθ)^2 } 　．．．(1)

-π/4<θ<π/4では，
　-1<tanθ< 1より，
0 ≦ (tanθ)^2< 1
n→∞ lim { (tanθ)^2 }^n ＝０

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
n→∞ lim　{ ここに入る数値の絶対値が０以上１未満 }^n = ０

具体例）
　n→∞ lim { 1/2 }^n ＝０
この考え方と全く同じです．
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

よって，
(1)式は，

　1 / { 1+ (tanθ)^2 } = (cos θ)^2　．．．(2)

となる．

１＋ (tanθ)^2 ＝{ (cosθ)^2 + (sinθ)^2 } /(cosθ)^2＝1/(cosθ)^2より，
(2)式は，次のようになる．

（題意の式の左辺）＝(cosθ)^2
（題意の式の右辺）＝(cosθ)^2
つまり，（題意の式の左辺）＝（題意の式の右辺）　となる．

∴　1-(tanθ)^2+(tanθ)^4- (tanθ)^6 +　・　・　・　=　cos^2θ　（-π/4<θ<π/4)
題意の式が成り立つことが証明された．[ 証明終 ] 　　．．．（解答）　

====================================================
以上です．
今回は，（左辺）を計算すると，
（左辺）＝（右辺）となるので，証明問題ということは解りました．
しかし，次回からは，どこが解らないのか，きちんと示して下さい．
途中式まででも構わないのです．
途中式が解らないはずはないのです．
『どこまでやったか』ということを示すことが，回答者に対する，質問者の最低限度の誠意です．
最低でも，問題文を正確に記述して下さい．

数学で，『どこが解らないのか，解らない』という，全くのお手上げの状態は，私も知っています．
しかし，問題の式に，tanθが入っているだけで，
少し前に学習した，等比数列の第ｎ項までの和まで，求められるということまで，出来るはずです．
それに気付かなかったはずです．
-(tanθ)^2 を　-ｘ^2　と置いて計算してみては如何でしょうか．

途中で，数列の和の極限値をとって，
ｎ→∞lim { (x^2)^n }　＝０
とした後に，-ｘ^2を-(tanθ)^2に戻して，
三角関数のsinθ，cosθ，tanθの関係式を使うと，
解けます．

頑張ってください＾＾

お礼

よく理解できました

親身な回答ありがとうございます

回答No.4

gtmrk

こちらにも。
考え方はどれも似たようなものです。

まずは以下のような級数を考えましょう。

　(1)　　Σ [k=1→n] (-x)^(k-1) = (1 - (-x)^n) / (1 + x)

やはり等比数列の和の公式です。さて、
この式も【 |x| < 1 】ならば n → ∞ で収束しますね。
すなわち

　(2)　　Σ [k=1→n] (-x)^(k-1) = 1 / (1 + x)

です。では、問題の式の左辺を考えましょう。

　(3)　　f = 1 - tan2(θ) + tan4(θ) - tan6(θ) + …

ここで、tan2(θ) = x と置いてみます。
-π/4 < θ < π/4 という条件より、【 0 ≦ x < 1 】ですね。
すると、

　(4)　　f = 1 - x + x^2 - x^3 + …
　　　　　　=　Σ [k=1→n] (-x)^(k-1)

これは(2)式の左辺そのものです。
x の条件も【 |x| < 1 】を満たしますから、以下のように変形出来ます。

　(5)　　f = 1 - tan2(θ) + tan4(θ) - tan6(θ) + …
　　　　　　=　1 / (1 + tan2(θ))

ここで、三角関数の公式に

　(6)　　1 + tan2(θ) = 1 / cos2(θ)

というのがあったのを思いだして頂けば、結局

　(7)　　f = 1 / (1 / cos2(θ)) = cos2(θ)

となります。

お礼

回答ありがとうございます
その他の類似の問題もやっみたんですが、教えてもらったものを参考にして解くことができました。

回答No.2

ferien

1-tan^2θ+tan^4θ-tan^6θ+.....

は、初項が１、公比が-tan^2θ　の無限等比級数　第ｎ項＝１×（-tan^2θ）＾n-1　

-π/4<θ<π/4　から、－１＜tanθ＜１→　０≦tan^2θ＜１→　－１＜－tan^2θ≦０より　収束する

その和は、１／１－（-tan^2θ）＝１／１＋tan^2θ　＝１／（1/cos^2θ）＝cos^2θ

回答No.1

Tacosan

何を?