積分の問題です。

質問

∫[0, π/2]cos(2θ)log(cosθ)dθの求め方を教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

cosθ=tで置換
θ:0～π/2 → t:1～0
sinθdθ=dt
cos(2θ)=2cos^2(θ)-1=2t^2-1

∫[0,π/2]cos(2θ)log(cosθ)dθ
これは広義積分であることに注意して部分積分
=[(1/2)sin(2θ)log(cosθ)][0,π/2]
-(1/2)∫[0,π/2]sin(2θ)(-sinθ)/cosθdθ
=(1/2)lim(θ→π/2)sin(2θ)log(cosθ)
+(1/2)∫[0,π/2]2(sinθ)^2dθ
=lim(θ→π/2)sinθcosθlog(cosθ)
+(1/2)∫[0,π/2](1-cos(2θ))dθ
=lim(θ→π/2)cosθlog(cosθ)
+(1/2)[θ-(1/2)sin(2θ)][0,π/2]
=lim(θ→π/2)cosθlog(cosθ)
+(π/4)
cosθ=tとおくと
θ→π/2のとき　t→+0
=(π/4)+lim(t→+0) tlog(t)
=(π/4)+lim(t→+0) log(t)/(1/t)
∞/∞型だからロピタルの定理適用
=(π/4)+lim(t→+0) (1/t)/(-1/t^2)
=(π/4)-lim(t→+0) t
=π/4

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

hirokazu555

部分積分を使ったらできますよ＾ｗ＾