無理数について

質問

問題
√3が無理数であることを知って
(2-a)√3＋b-a＾2＝０（a,b有理数）

2-a=0であることを示すについてわかりません。

2-aキ0と仮定することがわかりません。
どうしてでしょうか？
できればとき方も教えてください

すいません。

回答No.2

Mac_ury · ベストアンサー

題意より √3は無理数

この時、ただし、a,bは有理数で以下の方程式
(2-a)√3＋b-a＾2＝０
が成立するので

(2-a)√3＝a＾2-ｂ
が成立する。

今、2-aキ0と仮定すると
両辺を（２-ａ）で割ることが出来、実際に割ると
√３＝（a＾2-ｂ）/（２-ａ）
（ここがポイント。分数だから分母が０だと困る
ので最初に2-ａキ０を仮定している）
上式で右辺は分子も分母も有理数であるから、その解は
有理数。しかし左辺は無理数であるため矛盾。
したがって最初に仮定した
2-aキ0
が間違いであり、２－ａ＝０
がわかる。

これより、
(2-a)√3＋b-a＾2＝０
は
０＋ｂ-２＾2＝０⇒ｂ－４＝０
これよりｂ＝４でｂは確かに有理数。

従って、ａ、ｂが有理数で
(2-a)√3＋b-a＾2＝０
が成立するとき、
b-a＾2＝０、２－ａ＝０
でａは２、ｂは４に一意に決定される。

回答No.3

noname#5188

これも、√3が無理数であること
の証明同様、背理法を使います。

上の式は
(2-a)√3＝a＾2-b
とできますよね。

2-aキ0と仮定すると、
両辺2-aでわれて、（0だとわることはできない。）
√3＝(a＾2-b)/(2-a)

a,b有理数だから、右辺の分子、分母共に
有理数で、右辺は有理数となり、
これは√3が無理数であることに
矛盾している。2-aキ0と仮定して上のような
式変形をしたことが間違いだったので、2-a=0です。

回答No.1

ONEONE

(2-a)√3＋b-a＾2＝０
⇔
(2-a)√3＝a＾2-b

a^2-bは有理数だから左辺も有理数でなくてはいけない。
となるとaは有理数ということに注意すると
2-a=0
となりますね。

2-a≠0と仮定した時。
（大体　≠0という仮定のときはそれで両辺を割るとうまくいくときが多い。）
√3＝(a^2-b)/2-a
右辺は有理数、左辺は無理数。矛盾→仮定が誤っている。

補足

ありがとうございます。
あの。
2-a=0といえることがわかったのですが、b-a＾2=0もいえることがわからないです。
さらに、質問してすいません。