数列

質問

ａ1＝１、ａ2＝13
（数列なのでａの横の1と2は小文字的なやつとして下さい。）
ａn＋2－ａn＋1－6ａn＝０
（n＋2とn＋1とnは小文字的なやつです）

（n＝1、2、3、、、）

のように定められる数列｛ａn｝の一般項ａnを求めよ。

教えて下さい(;_;)(;_;)

回答No.2

ferien · ベストアンサー

ａ1＝１、ａ2＝13
（数列なのでａの横の1と2は小文字的なやつとして下さい。）
ａn＋2－ａn＋1－6ａn＝０
（n＋2とn＋1とnは小文字的なやつです）

（n＝1、2、3、、、）

>のように定められる数列｛ａn｝の一般項ａnを求めよ。

ａn＋2－ａn＋1－6ａn＝０　……（１）から
ｘ^2－ｘ－６＝０
（ｘ－３）（ｘ＋２）＝０
ｘ＝３，－２
（１）は、ａn+2＋２ａn+1＝３（ａn+1＋２ａn）とかける
ｂn＝ａn+1＋２ａnとおくと、
ｂn＝３ｂn-1　で、ｂ1＝ａ2＋２ａ1＝１３＋２・１＝１５
ｂnは、初項１５公比３の等比数列
ｂｎ＝１５・３^(n-1)＝５・３^nより、
ａn+1＋２ａn＝５・３^n　……（２）
（１）は、ａn+2－３ａn+1＝－２（ａn+1－３ａn）とかける
ｃn＝ａn+1－３ａnとおくと、
ｃn＝－２ｃn-1　で、ｃ1＝ａ2－３ａ1＝１３－３・１＝１０
ｃnは、初項１０公比－２の等比数列
ｃn＝１０・（－２）^(n-1)＝５・（－１）^(n-1)・２^nより、
ａn+1－３ａn＝５・（－１）^(n-1)・２^n　……（３）
（２）－（３）より
５ａn＝５・３^n－５・（－１）^(n-1)・２^n
　　　＝５・３^n＋５・（－１）^n・２^n
ａn＝３^n＋（－１）^n・２^n
ａ1＝３＋（－１）・２＝１
ａ2＝３^2＋（－１）^2・２^2＝９＋４＝１３

数列｛ａn｝の一般項ａnは、
ａn＝３^n＋（－１）^n・２^n　（ｎ＝１，２，３，……）
でどうでしょうか？

お礼

よくわかりましたありがとうございます(*^o^*)

回答No.3

MarcoRossiItaly

No.1です。

すみません、No.1で、一部、とんでもない書き損じがありました。

●「an+2-3an+1+2(an+1-3an)」を「an+2-3an+1=-2(an+1-3an)」に差し替えます。
●「…数列an+1+2an=cnを求めてください。」に続けて、次の漸化式を書き加えます。
　an+2+2an+1=3(an+1+2an)

つまり、特性方程式の解がα、βのとき、漸化式は

an+2-αan+1=β(an+1-αan)
an+2-βan+1=α(an+1-βan)

という2つの形に書き換えることができるということです。

回答No.1

MarcoRossiItaly

an+2、an+1、anをx^2、x、1に置き換えることで得られる特性方程式x^2-x-6=0を解くと、x=3, -2です。
3と-2のうち例えば3を使うと、与えられた漸化式は、

an+2-3an+1+2(an+1-3an)

と書き換えることができます。
an+1-3an=bn (n=1,2,...)と置けば、

bn+1=2bn

となります。
このような漸化式の数列は、何でしたか？
等比数列ですよね。
まずはこれからbnを求めてください。

x=-2についても全く同じ作業をして、数列an+1+2an=cnを求めてください。

最後に、2本の漸化式an+1-3an=bnとan+1+2an=cnからan+1を消去すれば、anが求まりそうですね？

※質問者様へのお願い
皆様の回答には、不都合がなければ、お返事を書いてください。（一言のあいさつだけでも構いません。）いつもきちんと対応してくださっている質問者様には申し訳ないのですが、そうでないケースも多発しているため、このお願いは毎回載せさせていただいております。また、できればご質問の締め切りも、目的が達成されてから半日後から数日以内などの、早すぎず遅すぎない時期に行っていただければ、ありがたく存じます。なお、ポイント獲得の有無は、個人的にはほとんど気にとめておりません。どうぞよろしくお願いいたします。