微分の途中式

質問

理想気体１molを50atm、100℃から1atmまで断熱変化させた時気体が外部にした仕事を求める上で、　　　　　ｄV＝(∂V/∂T)pdT+(∂V/∂P)tdPの意味が分かりません。偏微分になれていないので途中の中身を知りたいです。

回答No.1

Julius · ベストアンサー

dV = (∂V/∂T)_(P一定) dT + (∂V/∂P)_(T一定) dP

ときっちり書きましょう。VがP,Tの2変数に依存するので、
数学的に上の全微分式は成立します。

x,yという二つの変数に依存する関数z(x,y)があったとすると、

dz/dx = ∂z/∂x + ∂z/∂y * dy/dx
よって以下の全微分式が成立
dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y * dy

...というのでは全然説明になっていないのですが(^^;)
理論的に理解したいのであれば数学の解析の基礎の本を読んで下さい。
limや接平面座標を用いてここで説明しても、泥沼にはまるだけです。

ところで断熱条件での理想気体は、私なら別の方法で解きます

内部エネルギーの変化は仕事と熱量の合計なので、
dU = d'W + d'Q ....(1)

仕事は外部から受けた量を正とするので、d'W = - P dV ...(2)

内部エネルギーUはTとV(定積モル比熱を導入したいので、
P,T,Vの中からTとVを選んだ)に依存するので、
以下の全微分式が成立します。

dU = (∂U/∂T)_(V一定) dT + (∂U/∂V)_(T一定) dV...(3)

(2),(3)を(1)に代入すると、

d'Q = (∂U/∂T)_(V一定) dT + [P + (∂U/∂V)_(T一定)] dV ...(4)

断熱条件ではd'Q = 0
かつ理想気体では内部エネルギーは温度のみに依存するので
(∂U/∂V)_(T一定) = 0
さらに定積モル比熱Cvを導入すると、(∂U/∂T)_(V一定) = n Cvと置け、
状態方程式から P = n R T/Vと置けるので、(4)式は、

(Cv / T) dT + (R / V) dV =0

あとはこれを積分してやれば解けます。

回答No.2

rei00

> ｄV＝(∂V/∂T)pdT+(∂V/∂P)tdPの意味が分かりません。
> 偏微分になれていないので途中の中身を知りたいです。

　物理カテで質問されると適切な回答が付く内容のようにも思いますが，私のイメージだけですが御参考までに。

　　　　　　　　　Ｃ
　　　　　　　　／｜
　　　　　　　／　｜dP
　　　　　　／　　｜
　　　Ａ　／＿＿＿｜Ｂ
　　　　　　　dT

　今状態Ａから状態Ｂに変化した時の体積の変化 dV が知りたいわけですが，T と P とが同時に変化しては話が複雑になるので，最初は T だけ変化（状態Ａから状態Ｂへ変化）させ，次に P だけ変化（状態Ｂから状態Ｃへ変化）させて dV の値を求めようとしている訳です。

　状態Ａから状態Ｂへの変化では，圧力 P が一定ですから，体積変化量は温度の変化量 dT のみに依存しますが，この時の体積変化量 dV は温度変化量 dT に比例すると近似します。この比例係数が偏微分係数の (∂V/∂T)p です。

　同様に，状態Ｂから状態Ｃへの変化では，温度 T が一定で，体積変化量は圧力の変化量 dP のみに依存しますので，dP に比例すると近似します。この比例係数が偏微分係数の (∂V/∂P)t です。