大学の化学の問題を解いています。 300K、1atmの理想気体1モルを

質問

大学の化学の問題を解いています。 300K、1atmの理想気体1モルを断熱可逆的に堆積を2倍に膨張させた。気体の温度は何度になるか？ Cv=5/2Rとする。 どなたか早急に返答お願いします。

回答No.1

jamf0421

dU=dQ-PdVでdQ=0であることにより
dU=-PdV...(1)
この仕事を直接計算しないで内部エネルギー変化の方を考えます。
dU=(∂U/∂V)_tdV+(∂U/∂T)_vdT
であり、理想気体では(∂U/∂V)_t=0従って
dU=(∂U/∂T)_vdT=CvdT...(2)
となります。(1)と(2)を等値すれば
-PdV=CvdT
即ち
-(RT/V)dV=CvdT
-(R/V)dV=(Cv/T)dT...(3)
です。(3)をV1,T1からV2,T2へ積分
-Rln(V2/V1)=Cvln(T2/T1)
ここでR/Cv=γ-1と書くことにすれば
-(γ-1)ln(V2/V1)=ln(T2/T1)
(γ-1)ln(V1/V2)=ln(T2/T1)
(V1/V2)^(γ-1）=T2/T1
即ち
T2=(V1/V2)^(γ-1)T2...(4)
を得ます。
ところでCv=(5/2)R, Cp=Cv+RよりCp=(7/2)Rです。またγ-1=R/Cv=(Cp-Cv)/Cv=Cp/Cv-1となりますのでγ=Cp/Cv=7/5と分かります。これらを使えば(4)より
T2={(1/2)^(7/5-1)}*300={(1/2)^(2/7)}*300=246 K
となります。計算はお確かめ下さい。