フリードマン方程式の関数a（t）の形

質問

http://tmcosmos.org/cosmology/cosmology-web/node26.html

フリードマン方程式の解a(t)の関数の具体的な形を知りたいです
上のホームページの図３．１のΩ０＞１の関数の具体的な形が知りたいです
物質密度定数Ω０をすごく増やして、閉じた宇宙がいつビッグクランチを起こすかを知りたいのですが
上のサイトにあるa(t)＝Ω０/2(Ω０－１)（１ーcosθ）のθって何ですか？

回答No.4

metzner · ベストアンサー

No1です。補足します。

C.4.51 の式がa と t の関係決定する式です。

この式の右辺の積分ができて、あとa=f(t)と具体的にできればいいのですが、それができないのです。
そこれこの式の右辺の積分を

a＝Ω０/2(Ω０－１)（１ーcosθ）

で置換すると積分ができて、

C.4.54 の第二式右辺になるわけです。

＞θ（ｔ）の形を知りたいのですが

C.4.54 の第二式をθ＝..という式にできればいいわけですが、それは初等関数だけでは不可能ですよね。
tをaの関数として表すのは初等関数で表わすことができますが、その逆関数aをｔの関数としてあらわすことは初等関数ではできません。

ただビッククランチになる時間は、C.4.54の第一式でa=0として、Θを求めて、それをC.4.54の第二式のθに代入すれば、時間が求まります。

回答No.3

metzner

No1です。念のため補足しておきますと、
式(C.4.51)に右辺の積分をするのに、a＝Ω０/2(Ω０－１)（１ーcosθ）で置換積分しているだけです。

補足

ありがとうございます
θ（ｔ）の形を知りたいのですが、Ｃ４５１にあを代入すればいいのですか
松原先生の現代宇宙論に詳しくのっていたので参考にします

回答No.2

metzner

No1です。 ホームページの(C.4.54)の第二式です。

回答No.1

metzner

a(t)＝Ω０/2(Ω０－１)（１ーcosθ）がθの定義です。
この式と
H_0t = θの式

からθを消去すれば、aがtの関数としてわかります。
しかしθを初等的にtで表せません。だからθという変数で媒介変数表示しています。

ビッグクランチはa=0ですから、これからθが決まり、これを第二式に代入すれば、
tが求まり、いつビッグクランチが起こるかわかります。

お礼

ありがとうございます
Hot=θの式ってどんな形ですかね？