数学2

質問

点(2,-9)から放物線y=x^2-2xに2本の接線を引くとき、放物線と接線で囲まれる図形の面積を求めよ。という問題の解き方が分かりません。答えは18です。お願いします。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

http://examist.jp/mathematics/differential/sessen/
曲線y=f(x)上の接点(a,f(a))における接線の方程式はy=f'(a)(x-a)+f(a)です。
この問題の場合にはy=(2a-2)(x-a)+a^2-2aになります。
これが点(2,-9)を通るとすれば-9=(2a-2)(2-a)+a^2-2aとなります。
簡単にすると(a-5)(a+1)=0になりますから点(2,-9)より右にある接点のx座標は5です。
したがって求める面積は(2/3)*(5-2)^3=18になります。
補足
http://examist.jp/mathematics/integral/112area-1/
公式は(2/3)*(放物線の式のx^2の係数)*(接点のx座標-放物線外の点のx座標)^3です。
もう一つの接点のx座標は-1ですが，それを使っても答えは同じです。

お礼

あなたが一番簡単かつ分かりやすかったです！ありがとうございました‼

回答No.3

noname#227255

ANo.2の訂正です。

上から2行目
誤：「これとy=x^2-2から」→正：「これとy=x^2-2xから」

回答No.2

noname#227255

接線の方程式は、y=k(x-2)-9=kx-(2k+9)とおけます。
これとy=x^2-2から、x^2-2x=kx-(2k+9)とおくと、接点のx座標が求められます。
x^2-2x=kx-(2k+9)
x^2-(k+2)x+(2k+9)=0
これが重解をもつので、
判別式D=(k+2)^2-4(2k+9)=k^2-4k-32=(k+4)(k-8)=0

・k=-4のとき
重解（接点のx座標）は、(k+2)/2=(-4+2)/2=-1
接線の方程式は、y=k(x-2)-9=-4(x-2)-9=-4x-1

・k=8のとき
重解（接点のx座標）は、(k+2)/2=(8+2)/2=5
接線の方程式は、y=k(x-2)-9=8(x-2)-9=8x-25

よって求める面積は、
∫[-1→2]{x^2-2x-(-4x-1)}dx+∫[2→5]{x^2-2x-(8x-25)}dx
=∫[-1→2](x^2+2x+1)dx+∫[2→5](x^2-10x+25)dx
これを計算して、答えは18

回答No.1

noname#232123

まず、放物線上の１点(t, t^2-2t) における接線の方程式は、
y-(t^2-2t)=(2t-2)(x-t) ...(*)
であり、これが点(2, -9)を通るとき、
-9-(t^2-2t)=(2t-2)(2-t) ⇔ (t-5)(t+1)=0 ⇔ t=5, -1
これから、２本の接線は、
y=8x-25, y=-4x-1
となりまた、２接線の交点は(2, -9)ですから求める部分の面積Ｓは、
S=∫[-1~2]{x^2-2x-(-4x-1)}dx+∫[2~5]{x^2-2x-(8x-25)}dx＝9+9=18.
となります。