ニュートンの冷却法則が導出できません。

質問

熱電対の実験で、
「物体の冷却速度は周囲との間の温度差に比例し、
その比例定数をαとする」という仮定からニュートンの冷却の法則
「Ｔ＝Ｔ2＋（Ｔ1－Ｔ2）ｅ＾（－αｔ）」式を導出せよ。

という課題を課されたのですが…どうしてもわかりません。
微分を使えば良いのでしょうか？

よければご教授お願いいたします！

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

「冷却速度」
たとえば、１分間に温度が何℃下がるかということで、2分間で10℃下がったとすれば、10/2[℃/min]ということになる。一般に、Δt分間に
ΔT℃下がったとすれば、冷却速度は、ΔT/Δtと書けるが、ずっと短い時間で測ったときを考えて、
dT/dt
と書く。
これが、「周囲との間の温度差に比例し、その比例定数をαとする」というのだから、周囲の温度をT2、物体の温度をTとすれば、
dT/dt=-α(T-T2)
微分方程式です。

これを解けば・・・、だけど、
課題丸投げ。
あとは自分で調べる。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
とてもためになる解答をありがとうございました。

なるほど、回答者さまのように段階を踏んで整理していけば
あとは基本的なところで理解できるんですね。
以下は私なりの解答です。
お暇があるときにでも、目を通していただければ幸いです。
本当にありがとうございました！

ｄＴ/ｄｔ＝－α（Ｔ－Ｔ2)

これを解くと、
ｄＴ/(Ｔ-Ｔ2)＝-αｄｔ
したがって、log（Ｔ－Ｔ2）＝－ｄｔ＋Ｃ（Ｃは積分定数）
よって、Ｔ－Ｔ2＝ｅ^Ｃ ｅ^ーαｔ　　――(1)

ここでｅ^Ｃ＝βとおく。
ｔ＝０のときの物体の温度をＴ1とすれば、Ｔ1－Ｔ2＝β

これを(1)に代入すると、Ｔ－Ｔ2＝（Ｔ1－Ｔ2）ｅ^ーαｔ
したがって、Ｔ＝Ｔ2＋（Ｔ1－Ｔ2）ｅ^ーａｔ

以上より、ニュートンの冷却の法則(1)式が導出できた。