【数II】指数対数の分野です

質問

数IIの指数対数の問題です。どなたかお助けください。

【問】x,y,z,wが正の実数で、x^1/2=y^1/3=z^1/4=w^1/5のとき、log[2]x,log[3]y,log[4]z,log[5]wの大小を比較せよ。

log2]x=log[3]y=…の時と同じようにx^1/2=y^1/3=…=nとおいて
1/2=log[x]n,1/3=log[y]n…などと変形させて見ましたが、全く分かりませんでした。
よろしければご教授お願いします（；＿；）

回答No.8

yyssaa · ベストアンサー

＞x^1/2=y^1/3=z^1/4=w^1/5=a＞0とおくと
x=a^2、y=a^3、z=a^4、w=a^5だから
log[2]x=log[2]a^2=2log[2]a
log[3]y=log[3]a^3=3log[3]a=3log[2]a/log[2]3
log[4]z=log[4]a^4=4log[4]a=4log[2]a/log[2]4=2log[2]a
log[5]w=log[5]a^5=5log[5]a=5log[2]a/log[2]5
よってlog[2]x=log[4]z・・・・・(1)
log[2]x-log[3]y=2log[2]a-3log[2]a/log[2]3
=(2log[2]3-3)log[2]a/log[2]3
ここで
2log[2]3-3=2log[2]3-3log[2]2=log[2](9/8)＞0だから
log[2]a＞0すなわち
a＞1ならlog[2]x＞log[3]y
a＜1ならlog[2]x＜log[3]y
log[2]x-log[5]w=2log[2]a-5log[2]a/log[2]5
=(2log[2]5-5)log[2]a/log[2]5
ここで
2log[2]5-5=2log[2]5-5log[2]2=log[2](25/32)＜0だから
log[2]a＞0すなわち
a＞1ならlog[2]x＜log[5]w
a＜1ならlog[2]x＞log[5]w
log[3]y-log[5]w=3log[2]a/log[2]3-5log[2]a/log[2]5
=(3log[2]5-5log[2]3)log[2]a/{(log[2]3)(log[2]5)}
ここで
3log[2]5-5log[2]3=log[2](125/243)＜0だから
a＞1ならlog[3]y＜log[5]w
a＜1ならlog[3]y＞log[5]w
以上から
x^1/2=y^1/3=z^1/4=w^1/5＞1のときは
log[3]y＜log[2]x=log[4]z＜log[5]w・・・答
x^1/2=y^1/3=z^1/4=w^1/5＜1のときは
log[5]w＜log[2]x=log[4]z＜log[3]y・・・答

お礼

詳しく式で説明が書かれていて分かりやすかったです！
ありがとうございました(^o^)！！

回答No.7

shuu_01

Excel を使うと

e ＝ EXP(1) ＝ 2.718281828

log [e] 2 ＝ 0.693147181　→　2 / log [e] 2 ＝ 2.885390082
log [e] 3 ＝ 1.098612289　→　3 / log [e] 3 ＝ 2.73071768
log [e] 4 ＝ 1.386294361　→　4 / log [e] 4 ＝ 2.885390082
log [e] 5 ＝ 1.609437912　→　5 / log [e] 5 ＝ 3.106674673

って計算でき、

3 / log [e] 3 ＜ 2 / log [e] 2 ＝ 4 / log [e] 4 ＜ 5 / log [e] 5

とわかるけど、grape とか excel 使わないで、どうやって大小を
比較できるの？

お礼

Excel起動、ありがとうございます（；＿；）
大小比較、グラフを自分で書けるようになるしか無いのでしょうか…
本当にありがとうございます！

回答No.6

shuu_01

グラフを見ただけなら、
log[2] x ＝ log[4] z かどうかわかりにくいけど

log[2] x ＝ log [2] a^2
　　　　＝ 2 log [2] a

log[4] z ＝ log [2] z / log [2] 4
　　　　＝ log [2] a^4 / log [2] 2^2
　　　　＝ 4 log [2] a / 2
　　　　＝ 2 log [2] a

だから同じですよね

お礼

いますごく納得しました！本当にありがとうございます(^^)！

回答No.5

info22_

>【問】x,y,z,wが正の実数で
>x^1/2=y^1/3=z^1/4=w^1/5のとき

>x^1/2=y^1/3=z^1/4=w^1/5=n
(n>0)とおくと
x=n^2,y=n^3,z=n^4,w=n^5であるから
log[2](x)=2log[2](n)=log(n)(2/log(2))
log[3](y)=3log[3](n)=log(n)(3/log(3)
log[4](z)=4log[4](n)=log(n)(4/log(4)=log(n)(2/log(2)
log[5](w)=5log[5](n)=log(n)(5/log(5)

f(t)=t/log(t)とおくと　f(3)<f(2)=f(4)<f(5) であるから

n>1のとき すなわち　1<x<y<z<wのとき log(n)>0より
　log[3](y)<log[2](x)=log[4](z)<log[5](w)
n=1のとき すなわち x=y=z=w=1のとき log(n)=0より
　log[3](y)=log[2](x)=log[4](z)=log[5](w)(=0)
0<n<1のとき すなわち 1>x>y>z>w のとき log(n)<0より
　log[3](y)>log[2](x)=log[4](z)>log[5](w)

補足

ごめんなさい、「f(t)=t/log(t)とおくと　f(3)<f(2)=f(4)<f(5) 」というところが良く分からないです（；＿；）よろしければ詳しく説明お願いします（；＿；）

回答No.4

shuu_01

#1、#3 さん、アドバイスありがとうございます m(_o_)m

x^1/2 = y^1/3 = z^1/4 = w^1/5 = a

と置くと、x = a^2、y = a^3、z = a^4、w = a^5

log[2] x ＝ log [2] a^2 ＝ 2 log a / log 2
log[3] y ＝ log [3] a^3 ＝ 3 log a / log 3
log[4] z ＝ log [4] a^4 ＝ 4 log a / log 4
log[5] w ＝ log [5] a^5 ＝ 5 log a / log 5

y ＝ x / log x のグラフを書くと

log[3] y ＜ log[2] x ＝ log[4] z ＜　log[5] w

ですが、そこで気を抜いてはいけません

a < 1 の時、 log a <0

ですので、log[3] y ＞ log[2] x ＝ log[4] z ＞　log[5] w

a = 1 の時、log a ＝ 0

ですので、log[3] y ＝ log[2] x ＝ log[4] z ＝　log[5] w

a > 1 の時、log a > 0

ですので、log[3] y ＜ log[2] x ＝ log[4] z ＜　log[5] w

でも、グラフは grape に描かせちゃったんで
それ以上難しい計算はわかりません

もう少しヒントお願いします

お礼

グラフまで書いていただき、ありがとうございます！
引っ掛けまであるとは…（；＿；）
本当にありがとうございます！

回答No.3

Tacosan

あぁ, みごとに出題者の罠にはまってる....＞#2. 最後まで気を抜いちゃダメっす.

回答No.2

shuu_01

x^1/2 = y^1/3 = z^1/4 = w^1/5 = a

と置くと、x = a^2、y = a^3、z = a^4、w = a^5

log[2] x ＝ log [2] a^2 ＝ 2 log a / log 2
log[3] y ＝ log [3] a^3 ＝ 3 log a / log 3
log[4] z ＝ log [4] a^4 ＝ 4 log a / log 4
log[5] w ＝ log [5] a^5 ＝ 5 log a / log 5

y ＝ x / log x のグラフを書くと

log[3] y ＜ log[2] x ＝ log[4] z ＜　log[5] w

です

グラフは grape に描かせちゃったんで
それ以上難しい計算はわかりません

ごめんなさい m(_ _)m

回答No.1

Tacosan

対数の大きさで困ったときの考え方の 1つは「底をそろえてみる」こと. 例えば ln を自然対数として, x^1/2=y^1/3=…=nとおいて log[2]x などを ln n で表してみる.

お礼

自然対数…！ありがとうございます、精進します（；＿；）！