大学受験の数学です

質問

nは自然数とする.x,yの方程式
8x+35y=n…✳︎
について次の問いに答えよ

(1)n≧281のとき,✳︎を満たす自然数の組(x,y)が少なくとも1つは存在することを示せ
(2)281≦n≦322のとき,
✳︎を満たす自然数の組(x,y)はちょうど一つ存在することを示せ

教えてください

回答No.2

f272

(1)
8x+35y=nの1つの解は(x,y)=(22n,-5n)です。つまり8*22n+35*(-5n)=nです。
だから8(x-22n)+35(y+5n)=0となってある整数kを使って
x-22n=-35kかつy+5n=8k
と表せます。言い換えると
x=-35k+22nかつy=8k-5n
です。これが与えられた不定方程式の解を整数の範囲での一般解です。自然数の範囲に限れば
-35k+22n>0かつ8k-5n>0
が成り立ちますから
(5/8)n<k<(22/35)n ....(A)
となって，ここで
(22/35)n-(5/8)n=n/280>1 ....(B)
であればかならず(A)を満たす自然数kが存在します。
従ってn>280，つまりn≧281です。
(2)
(B)に加えて
(22/35)n-(5/8)n=n/280<1/8+1+1/35 ....(C)
が成り立っていれば(A)を満たす自然数kがちょうど1つ存在します。
従って(B)かつn<323，つまり281≦n≦322です。

(C)が成り立っていなければ
(5/8)n<k<k+1<(22/35)n
のような状況になる可能性があります。このとき(5/8)nとkの差は最小でも1/8だし，k+1と(22/35)nの差は最小でも1/35です。だから(C)のような条件を満たす必要があるのです。

回答No.1

tmpname

（以下、自然数のことをあえて「正整数」と書きます）

(1)
まずEuclidの互除法を使い、35 - 8 * 4 = 3, 8 - 3*2 = 2, 3 - 2 = 1であるから、
1 = 3 - 2 = 3 - (8 - 3 * 2) = 3 * 3 - 8 = (35 - 8 * 4) * 3 - 8 = 35 * 3 - 8 * 13
整理して、 1 = 35 * 3 + 8 * (-13) = 35 * (-5) + 8 * 22 --- (A)

で、今丁度 281 - 1 = 280 = 3 * 35であるから、 まず281 = 35 * 3 + 8 *(-13 + 35) = 35 * 3 + 8 * 22となって、
n = 281 + 8m (m≧0)の時は、 281 + 8m = 35 * 3 + 8 * (22+m)となって、確かに存在する。
よって、後はn = 282 + 8m, 283 + 8m, ...... + 288 + 8mの場合に存在すればよいが、(A)の関係式を使うと、

281 + 8m = 35 * 3 + 8 * (22+m)
282 + 8m = 35 * 6 + 8 * ( 9 +m) [35の方を3増やし、8の方を13減らす]
283 + 8m = 35 * 1 + 8 * (31 +m) [35の方を5減らし、8の方を22増やす]
284 + 8m = 35 * 4 + 8 * (18 +m) [35の方を3増やし、8の方を13減らす]
....
（285, 286, 287の場合は自分でやってみてください。要は、xとyが正のままとなるように、「35の方を3増やし、8の方を13減らす」か、「35の方を5減らし、8の方を22増やす」かどちらかをする）
....
288 + 8m = 35 * 8 + 8 + (1 +m)
となって、確かにn=281 + 8m, 282 + 8m, ....., 288+8m全ての場合に存在することがわかる。

(2)
nを正整数とし、8x+35y=nを満す正整数の組(x,y)が少なくとも2組あるとし、その内xが小さい方を(a, b)、xが大きいほうを (A,B)とおく。 n = 8a + 35b = 8A + 35B, a<A となるが
これより 8(A-a) = 35(b-B)。ここで、A-a>0 （従ってb-B>0)
8と35は互いに素であるから、ある正整数mを用いて、A-a=35m, 従ってb-B=8mとなる。

よって、b=B+8m ≧ 1+8 = 9, a≧1であるから n≧8*1 + 35*9 = 323でなければならない。