指数対数の連立方程式

質問

以下の問題で行き詰っています。

1.連立方程式x+y=log(2)24 …(1)　2^(-x)+2^(-y)=5/12 …(2)　について、2^x + 2^y を求めよ。

2.log(10)25 の小数部分をxとするとき、10^(1-x) を求めよ。

実際はこの誘導のあと、方程式の2解を求めさせるのですが、そのあたりは典型例なので大丈夫だと思います。
ここ数日粘ってみているのですが、学力が至らず、過去問などを漁ってみても類題が見つかりませんでした。
難しく考えすぎているのでしょうか・・・。
見づらい文章で申し訳ありませんが、ご教授ください。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

１．
(1)より、
2^(x+y)=24
(2^x)・(2^y)=24 …… (3)
2^x=s,2^y=tとおくと、
(2)より、
(1/s)+(1/t)=5/12
(s+t)/(s・t)=5/12 …… (4)
(3)より、
s・t=24 …… (5)
(5)を(4)に代入して
s+t=(2^x)+(2^y)=10

２．
log₁₀25=log₁₀(10×2.5)=log₁₀10+log₁₀2.5
よって、log₁₀25の小数部分はlog₁₀2.5=log₁₀(10/4)=log₁₀10－log₁₀4=1－log₁₀4=x
∴10^(1－x)=10^(log₁₀4)=4

お礼

やはり置き換えが必要なのですね・・・。
丁寧な回答ありがとうございます。
今一度解きなおしてみます。

回答No.7

151A48

お詫び

♯３　です。
すみません。2.log(10)25 の2が問題番号だと全然きづきませんでした。10^log2 の処理も間違っていますね。歳を取ると細かい字が読みづらくて困ります。もう引退かな。
私の解答は忘れてください。

お礼

とんでもありません！
丁寧な解説で非常に助かりました。
ありがとうございます。

回答No.6

asuncion

＞10^(1-x)=10・10^-(2-4log2)=10・(10^-2)・(10^log2)^4=10・(10^-2)・(10^2)^4=10^7

xは小数部分（1未満）だといっているので、1-xも1未満ですよね。
10の「1未満乗」が10^7になるはずがありませんね。
どこかでものすごく勘違いされていると思います。

回答No.5

asuncion

２．の別解

＞log₁₀2.5=log₁₀(10/4)=log₁₀10－log₁₀4=1－log₁₀4=x

ここまでは同じなんですけど、
y=10^(1-x)とおくと、1-x=log₁₀y
x=1-log₁₀4より、1-x=log₁₀4
∴y=10^(1-x)=4

お礼

分かりやすい別解も添えていただきありがとうございます。
今後の学習に役立てていきたいと思います。
ありがとうございました。

回答No.4

asuncion

＞#3さん
＞2log25=2log(100/4)

先頭の「2」はどこから来ていますか？

＞2.log(10)25 の小数部分をxとするとき、10^(1-x) を求めよ。

この先頭の「2.」は、「問2」の「2」なんですけど。

回答No.3

151A48

2^(x+y) =2^(log24)=24 （ 対数の定義より。対数の底は２）に注意。

2^(-x) +2^(-y) =(2^x +2^y)/2^x・2^y =(2^x +2^y)/2^(x+y)=(2^x +2^y)/24
これが5/12に等しいので2^x +2^y=10

以下、対数の底は１０
2log25=2log(100/4)=2(log100-log4)=2(2-2log2)=4(1-log2)=2.795・・・　　なので
x=2log25-2=4-4log2-2=2-4log2
10^(1-x)=10・10^-(2-4log2)=10・(10^-2)・(10^log2)^4=10・(10^-2)・(10^2)^4=10^7

お礼

分数として計算する発想まで行き届きませんでした。
もっと演習を積むべきですね。

また、2.は大問2というつもりだったのですが、分かりづらくて
申し訳ありません。

回答No.1

Tacosan

(1) 2^(x+y)=?
(2) 10^x=?

お礼

早速の回答ありがとうございます。
たしかに誘導として2^(x+y)を求めさせていますね。

ありがとうございます。