６の0.331乗

質問

仕事で何気なしに計算していると、6＾0.331（6の0.331乗）を関数電卓やエクセルでは解答できるのですが、それを四則計算ではどう求めるのかと不思議に思いました。
ご解答できる方、計算式を教えてください。宜しくお願いします。

回答No.6

girlkeeper · ベストアンサー

3√って立方根のことですか。

できますよ。6＾0.331　から脱線しますが。

１．ａを適当な数ｂの２乗で割る。
２．１の答えをｃとし、（２ｂ＋ｃ）／３を算出する
３．２の算出値とｂが殆ど同じなら終わり。
４．同じでないなら２で算出した算出値を新たなｂとして１に戻る

２を単純平均にしてもいいけど、上のような重み付の平均にした方が速い。

※お分かりだと思いますが、私の前回回答は＃２さんへの補足ですよ。

お礼

有難うございました。
印刷して保存しておきます。また機会があれば宜しくお願いします。

回答No.5

B-juggler

ちょっとだけお邪魔しておこうかな。

代数学屋さん(o｀・ω・)ゞデシ!!　（非常勤講師です。胃が悪くてお休み中）

テイラー展開もいいけど、近似値しかでないから・・・。

もちろん計算方法といわれると、多分一番いいんでしょうけれど。

基本的なところで、数学上の確認というか、どういう意味かって言うのを

ちゃんと書いておこうかと。

６＾（０．３３１）　こいつは面倒ですね。

０．３３１だけ先に見ます。

０．３３１　＝　（３３１／１０００）　ですね。

なので、６＾（０．３３１）＝ｘ　としておくと

ｘ＾（１０００）＝６＾（３３１）

数学的には、これ。　多分ここで答えとめるかな？

ある数字の１０００乗が、６の３３１乗に等しくなりました。

元の数字はなんでしょう？　こんなわけの分からない計算ですから＾＾；

６＾３３１でもう投げ出したくなりますね＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.4

girlkeeper

せっかくなので、開平計算も四則演算で行ないましょう。電卓は使ってＯＫですよね？

正の数ａの開平をするには・・・

１．ａを適当な正の数ｂで割る。
２．１の答えをｃとし、ｃとｂの平均を出す
３．２の平均とｂが殆ど同じなら終わり。どの程度を「殆ど同じ」というかは算出者の主観ｗ
４．同じでないなら２で算出した平均を新たなｂとして１に戻る

実際にやってみましょう。ａ＝２、ｂ＝１とすると、

１．　２÷１＝２
２．　（２＋１）÷２＝１．５
３．　１．５≠１なので終わりじゃない４．　ｂ＝１．５とする（1に戻る）

１．　２÷１．５＝１．３３３・・・
２．　（１．５＋１．３３３・・・）÷２＝１．４１６６・・・
３．　１．４１６６・・・≠１．５なので終わりじゃない（としようｗ）
４．　ｂ＝１．４１６６・・・とする（1に戻る）

１．　２÷１．４１６６６・・・＝１．４１１７７・・・
２.　　（１．４１１７７・・・＋１．４１６６・・・）÷２＝１．４１４・・・
３．　１．４１４１・・・≠１．４１６６・・・なので終わりじゃない
４．　ｂ＝１．４１４１・・・とする（1に戻る）

１．　２÷１．４１４１・・・＝１．４１４３・・・
２．　（１．４１４１・・・＋１．４１４３・・・）÷２＝１．４１４２・・・
３．　１．４１４２・・・≒１．４１４１・・・なので終わり（としようｗ）

ということで、√２≒１．４１４１・・・となる。

実際には、これを桁数分だけ繰り返すので結構たいへん。でも電卓とメモリー機能を使えばそれほどでもない。
「開平」を手計算による四則演算のみで行なう手法もありますが、こちらの方が簡単。

補足

girlkeeperさんご解答有難うございます。
ある数を√したときの計算方法はよくわかりました。
ある数を3√したときの計算方法は上記のような計算方法で解けますか？
数学音痴な僕ですがご解答願います。

回答No.3

masa2211

6^0.331は、exp(0.331*ln(6))として計算。使う公式は、テイラー展開の
exp(x)=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+......
ln(x)=(x-1)-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4+......
ただし、lnを求めるときのxは、-0.5～+1.5の範囲で使うのが無難（この範囲外は収束に手間がかかったり、収束しなかったり。）だから、
たとえば 6=1.5*2*2と分解して
ln(6)=ln(1.5*2*2)=ln(1.5)+ln(2)+ln(2)=ln(1.5)-2ln(0.5)
としてから公式に代入します。

回答No.2

FT56F001

ルート(開平計算)を許してもらえれば，近似値は計算できます。

Step1 0.331を二進数に展開します。
0.331_(10)=0.01010100101111・・・・_(2)
この結果は，0.331=1/4+1/16+1/64+1/512+1/2048+1/4096+1/8192+・・・を表しています。

Step2 6，6のルート，6のルートのルート，6のルートのルートのルート・・・を計算します。
6^1,6^(1/2),6^(1/4),6^(1/8)・・・を計算したことになります。

Step3 二進数展開が1のところだけを掛け算します。
すなわち，
6^1/4=6のルートのルート=1.56508
6^(1/16)=6のルートのルートのルートのルート=1.118496
6^(1/64)=1.028391
6^(1/512)=1.003505
6^(1/2048)=1.000875
6^(1/4096)=1.000437
6^(1/8192)=1.000219
・・・・・
ここまで掛け合わせると，1.809312となりました。
正解6^0.331=1.809539なので，4桁くらい求まりました。
関数電卓のありがたさを感じます....

回答No.1

neKo_deux

> 四則計算ではどう求めるのかと

単純な四則計算では、ちょっと厳しいです。
・常用対数表を使って近似値を算定
・計算尺を使って近似値を算定
・一定のアルゴリズムに沿った数値計算で近似値を求める

などが一般的です。

やり方思い出しながらだと…

x = 6^0.331
両辺、常用対数を取って、
log(10)x = log(10)6 ^ 0.331
log(10)x = 0.331 * log(10)6

数学++【なんちな】++　高校数学教材 - ありがとう，対数（2）
http://naop.jp/topics/topics9.html

常用対数表から、log(10)6 = 0.7782なので、

log(10)x = 0.331 × 0.7782
　　　　　＝ 0.2575842

ではxは？って言うと、
この「0.2575842」に近い値を上の常用対数表で探すと、
log(10)1.8のときに対数表の「0.2553」という値になるので、これが近い値だって話になり、

x ≒ 1.8 (よりちょっと大きい)

とか。
理科年表なんかに付属している常用対数表なら、もう２桁くらい求まるハズ。