[確率]一致推定量

質問

確率の一致推定量の問題です。

母平均μが既知のときに、標本分散(1/n)Σ(Xi-μ)^2は母分散σ^2の一致推定量であることを示せ。
ただしV[(Xi-μ)^2]は存在するとする。

という問題です。ヒントとして、Yi = (Xi-μ)^2 (i = 1,2,…,n)と置いて｛Yi｝の標本平均を考える。とあるのですが、最終的に一致推定量であることの定義
limP（lT-θl < k）=1 (T：推定量、θ：母数、k：定数)
n→∞
にあてはめるまでに、全然到達することができませんでした…

お手数おかけしますが、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

すみません。呆けてました。
ANo.1はチェビシェフの不等式を使うべきでした。

Eを期待値記号とすると
E(Yi) = E[(Xi-μ)^2] = σ^2
であるから
E(ΣYi/n) = ΣE(Yi)/n = Σ(σ^2)/n = σ^2
また、X1, X2, …, Xnはiidと仮定するとY1, Y2, …, Ynもiidであり、δ^2 = V[(Xi-μ)^2]が存在するので
V(ΣYi/n) = ΣV(Yi/n) = ΣV(Yi)/n^2 = ΣV((Xi-μ)^2)/n^2 = Σ(δ^2)/n^2 = (δ^2)/n
となる。
εを任意の正数すると、チェビシェフの不等式により
P|ΣYi/n - σ^2| < ε)　> 1 - {(δ^2)/n}/ε^2
であるので、この不等式のn→∞の極限をとると右辺は1に収束し、確率の上限は1であることから、
lim[n→∞] P|ΣYi/n - σ^2| < ε) = 1
以上により、標本分散は母分散の一致推定量であることが示された。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほどです！

とても勉強になりました!!

回答No.1

noname#227064

X1, X2, …, Xnはiidと仮定してOKでしょうか？
暗に仮定されているとは思いますが、そうならばY1, Y2, …, Ynもiidとなります。
また、V(Y1), V(Y2), …, V(Yn)も存在することから中心極限定理が適用できるので、ΣYi/nが母分散の一致推定量であると示すことができます。