標本分散の合併について

質問

標本分散の合併についてわからないことがございます。

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標本Aの分散：Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1)
標本Bの分散：Σ{(Yi - Ymean)^2} / (n-1)

合併標本分散（A+B）
Σ{(Yi - Ymean)^2} + Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + (n-1)

Xmean(Ymean)は標本A(B)の標本平均です。
分散は未知だが等しいことがわかっている。
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なぜ、AとBの分母同士、分子同士足し合わすのでしょうか？
そのようなことをしてもよいのでしょうか？

なぜ、
Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + Σ{(Yi - Ymean)^2} / (n-1)
では駄目なのでしょうか？

教えていただけましたら幸いです。
以上、宜しくお願いいたします。

回答No.2

age_momo

#1です。私も少し勘違いをしていたみたいなので訂正です。
これは標本の合併というより、平均の差の検定をt検定(等分散)で
行う際の母分散の推定ですね。平均が等しいと勘違いしていました。

標本Aと標本Bがそれぞれあって分散が等しいがその値が
分かっていない場合の母分散の推定値の計算式は

[Σ{(Xi - Xmean)^2} + Σ{(Yi - Ymean)^2}] / {(n-1) + (m-1)}

であっています。私も完全に理解できているわけではありませんが、
それぞれの平均をそれぞれの標本で求めているので自由度は
(n-1) + (m-1)になります。不偏分散は自由度で割りますから
計算式としては上の式になります。
感覚としては平均値が2つあるので2減るといったところでしょうか。
通常は平均値が1つなので自由度が標本数から1減ります。

極端な話、標本数が1で値がXなら平均X、分散0/0で定義できずが
単一の標本での不偏分散による母分散の推定です。
(標本分散なら0/1=0と計算できてしまうところが標本分散の弱さでしょう)
同様にA,Bともに標本数1ずつなら分子0になりますから分母も0に
なるはずです。その意味で標本数から2引くのは納得できる話です。

補足

ご返答ありがとうございました。

でもなぜ、下記式にはならないのでしょうか？
Σ{(Xi - Xmean)^2} / (n-1) + Σ{(Yi - Ymean)^2} / (n-1)

分母同士・分子同士足し合わせる理由がわかりません。
意味合いもかわってくるような気がしないでもないのですが・・・。

回答No.1

age_momo

質問者さんはその単元で何をしようとしているか理解できていますか？
期待値、分散の加法性と混同していませんか？全く別のことですよ。
正直なところ、考え込むような式ではありません。
実際に計算してみれば分かりますが、めちゃくちゃ当たり前のことを言っています。
(少し式が違うように思いますが)

例えば
Aさんがランダムに成人男性10人の身長を調査してきた。結果は平均170、分散26.22
Bさんも同様に8人の調査をしてきた。結果は平均170、分散13.43
二人のデータを併せたら分散はどうなるか？
それぞれのデータが
A：171,173,175,161,166,168,175,165,169,177
B：169,166,166,168,172,169,174,176
だったとしたら計算は平均170なので各値の170からの偏差平方和を計算して
足した値を(10+8-1)で割りますね。
Σ記号を入れて書けば
{Σ(Ai-170)^2+Σ(Bi-170)^2}/(10+8-1)

それぞれのデータがなくても
(26.22*9+13.43*7)/(10+8-1)
で計算できます。それぞれの偏差平方和は分散に(標本数-1)をかければ出ますから。
(平均が同じだからできるのですが)

補足

ご丁寧な回答ありがとうございました。

加法性と混同しているかもしれません。
これは、２つの標本を混ぜて１つの標本にして、
再度分散を求めているということでしょうか？
それにしても、分母が(n-1) + (m-1)になる理由がわかりません。
(n+m-1)ならわかりますが。

すいません。
質問にある、標本Bのnをmに変更します。

合併標本分散（A+B）
[Σ{(Xi - Xmean)^2} + Σ{(Yi - Ymean)^2}] / {(n-1) + (m-1)}

上記はハンバーガー統計学という本の推定母分散の式として載っていました。
（少し書き方を変えていますが）
(http://kogolab.jp/elearn/hamburger/chap4/sec3.html)