物質の熱上昇について（一点に熱を与えつづける場合）

質問

ある問題を解かなくてはなりません。助けてください。

　一次元でも二次元でも、何かの物体にレーザーや電子ビーム（つまり熱源）を与えた時のその場所の温度上昇の時間関数（温度上昇の時間に対する形）が知りたいのです。

　簡単に例えるならば、無限に長い鉄の棒か板があってその中央（原点）にバーナーの火をあて始めたとします。原点は始めは室温ですが、だんだんと灼熱して最後は中央からある一定の長さ範囲（板の場合は円）が灼熱し、原点の温度は上がりつづけると思うんです（物質が溶解始めるまで）
　一次元（棒）でも二次元（板）でもいいので、この原点における温度上昇を時間の関数（もしくは数値変化）で表したいのですがもしヒント等あったら教えて下さい。

　おそらくは始めは温度拡散が早く、緩やかに増加し、周囲の温度も上がり始めると急激に増加し出して、時間が経つとまた温度上昇も緩やかになるのかなと思うのですが、いかんせん想像に過ぎません。

　「伝熱工学」谷下市松の本をあたって一次元物質の非定常熱伝導を見ますと

　例えば熱伝導率：λ、単位容積あたりの熱源：ｑ、温度伝導率：a,（a=λ/pc p:棒の密度　ｃ：比熱）だと、一次元の場合

　∂`2t/∂x`2 +q/λ　＝　1/a ∂t/∂x

となり、これは棒全体に熱量ｑを与えつづける場合で、一点に熱を与える場合ではありません。これからどう料理していったらよいものか、苦戦しています。

　よろしければ助け舟をお願いいたします。

回答No.3

now2good

１．、数学的解（理論解）が必要か、近似解（数値解）が必要かでアプローチが異なります。

２．数学的解
この種の問題の解はふつう初等関数では表せません。
解には誤差関数erf(x), 余誤差関数erfc(x)などが含まれることが多い。
ご質問の境界条件は「境界点＝輻射、初期温度＝一定」の熱伝導問題に相当すると思われます。
この場合、境界点温度の解は指数関数(exp)と余誤差関数(erfc)の積で示されます。

下記には、固体内の熱伝導問題について、種々の解が示されていますので、お調べください。

参考書
H.S.Carslaw and J.C.Jaeger: Conduction of Heat in Solids, 2nd ed.,Oxford Univirsity Press, 1959.

３．数値解析
1)熱源を想定すると入熱は、輻射によると思われます。
　ヒント
・ステファン－ボルツマンの法則
・４乗則（材料の温度上昇を考慮のこと）
・熱源の効率ｋ（例えば、レーザーではパルス制御、照射時間効率など）を考慮のこと。
Ｑ＝ｋ×Γ×
( {(Ts^4)－(T0^4)}/{(1/εs)＋(1/ε0)－１} ) )

2)上記のＱを境界条件として、熱伝導問題を解きます。
方法は直接差分法がいいでしょう。

３．蛇足かもしれませんが、

>>一次元（棒）でも二次元（板）でもいいので
一次元＝棒、二次元＝板の例示は、あまり適切ではありません。

この例では、
縦横が無限に大きく厚さが半無限の板を想定し、

一次元＝板表面に対し入熱する。入熱は全表面で均一とする。x軸は板の厚さ方向。
二次元＝板表面のある直線に対し入熱する。入熱は全直線上で均一とする。x軸は板の厚さ方向。x軸と入熱直線の双方に垂直にy軸をとる。

のが妥当です。

例示された棒と板では、単純座標をとるか、半径座標をとるかの違いだけでいずれも一次元問題に帰着されます。
同様に、バルク材の表面の１点に対し入熱する場合
（レーザービームの定点照射）は深さ方向xと半径方向r
の２次元に帰着できます。
また、棒の直径、板の厚さ、表面の境界条件を考慮すると問題が複雑になります。

※後はご自分で勉強してください。健闘をお祈りします。

回答No.2

0shiete

直接的な回答ではありませんが、

java 熱伝導　シミュレーション
などのキーワードを用い、
インターネットで検索してもらうと
Java Appletを用いた、シミュレーションを
見ることができます。

方程式の解法がのっているページが見つかるかも
しれません。

参考URL：

http://homepage.mac.com/positron/physics/Wave/heat.html

回答No.1

noname#6587

その１　ある時間、小さい領域に熱を加え続けると、加熱点も温度が上がるけど周囲も上昇して、温度分布は正規分布のような形になるでしょう、多分。
　この分布の広がり具合は熱伝導率がよければ広く、悪ければ狭くなるでしょう、多分。
　一定時間後の温度分布から加熱前の一定温度を引いて、体積と比熱をかけるとイコール加えた総熱量となっているでしょう、多分。
　この関係から、加熱点の温度の高さが出るでしょう、多分。

　以上のことを計算式で表すと、、、、私は算数が苦手なので、、できません、、、おそまつ。

その２　加熱点に流入する熱量と加熱点から周囲に伝熱により流出する熱量の差を比熱で割ると単位時間当たりの加熱点の温度上昇が得られるでしょう、多分。
　　　　流出する熱量は加熱点の温度と周囲との温度勾配に比例するでしょう、多分。この温度勾配は、熱伝導率から計算されるでしょう、多分。
　　　　加熱点に流入する熱量は、一定ではないでしょう、多分。それは熱源の温度と加熱点の温度との差に依存するでしょう、多分。熱源の温度と加熱点の温度が同一になったとき、それ以上温度は上がらないでしょう、多分。
　　　　この観点からすると、加熱点の温度は熱源の温度に向かってエクスポーネンシャルに上昇していく様に思えるけど、前半部分の観点からすると、流入と流出のつりあう温度に向かって、（多分）エクスポーネンシャルに上昇するでしょう。

　　　　以上のことを計算式で表すと、、、、私は算数が苦手なので、、できません、、、おそまつ。

　でも、解けそうな気がしてきませんか？
　いずれにしろ、エクスポーネンシャルに上昇すると思いますよ。

お礼

早速ありがとうございます！
　でも、本当に、エクスポネンシャルなのか？と証明しなければならないので（笑）。ちなみに私も算数苦手です。
　しかしながら、もちろん誰かが解いてくれるとは期待しておりませんでしたので、お答えを読んでいるとなるほど、解けそうな気がしてまいります・・・。

　あと、実は簡単の為にバーナーの火としましたが、本当に必要なのは電子ビーム注入時の温度上昇なので、エネルギーは必ず一定量に注入されるという定義でいきたいと思います。（で、いいのかなあ）

　今も解く為に頭をひねっているのですが、お答えを参考に頑張ってみます。

　さらなる助け舟を募集中でございます！！