一方の端面を熱したときの熱の変化

質問

非常に薄い（4μm）単結晶シリコンの板の上にレーザー（0.1mW）をあてて、ある任意時間での、この板内の温度分布を知りたいと考えております。
伝熱工学を習いはじめで分からなくなってしまい困っております。どなたかご教授ください。
そこで、まず、この問題を簡単にし、レーザーではなく片面に均等に0.1mWの熱源を考えようとしております。
最初は両面とも25度（初期条件）で、あるときから、平面の一方には0.1mWで加熱し初めます。このときのある時間（加熱しはじめてからごく短い間）での板内の温度分布や、平衡状態になるまでにかかる時間について解きたいのですが、いかんせん、初心者で考えてもいい回答法が分かりません。
なお、シリコンの密度、比熱、熱伝導率は分かっているのですが、まだ、なにか足りないのでしょうか。
どなたか知恵を貸してください。お願い致します。

回答No.1

nzw

したいこと（やらないといけないこと）は、
A)簡単化された加熱モデル
B)レーザーを用いた実際の加熱モデル
において、
1)方程式をたてる
2)その方程式を解く

ということですね。
まず、A1（簡単化モデルの方程式）ですが、加熱されていない側の表面のモデル化が必要です。つまり、ここから逃げていく熱を、輻射や、場合によっては空気への伝導を考慮してモデル化（数式化）する必要があります。これができれば、
・加熱端での熱の発生モデル
・非加熱端での放熱モデル
・基板内部での伝導モデル
を連立させ、一次元の熱伝導方程式をたてれば、とりあえず最もシンプルなモデルができるはずです。熱伝導方程式の立て方については、伝熱工学の教科書を見てください。

B1（実際のモデルの方程式）ですが、こちらの場合、熱の発生源が端面だけというモデルでは、現実とかなりあわないはずです。というのも、光を用いて加熱する場合、光は吸収されながらも基板に進入していき、内側でも熱を発生させるからです。特に、単結晶シリコンでは、吸収率の波長依存性が大きいので、たとえば赤外線レーザーを用いる場合と、青色レーザーを用いる場合では、光が進入する深さが大きく異なります。したがって、実験に用いるレーザーの波長に対するシリコンの吸収係数を求めておき、照射条件に対し、どの深さでどれだけ吸収されるか（つまりそこで熱が発生するか）をモデル化する必要があります。
また、レーザーをスポット照射する場合、一次元モデルでは不完全で、三次元モデルをたてる必要があります。
　なお、どのような目的でどのような実験をされるのかわからないので、単純な熱伝導方程式でいいのか？という疑問もあります。これについては、最後にまとめます。

2)方程式の解き方について
　どちらのモデルにしても、式は時間、空間それぞれの微分を含む偏微分方程式になります。単純モデルであれば、解析的に（つまり式変形で）対処してもなんとかなると思いますが、実際に近いモデルではちょっとてこずるでしょう。その場合、計算機を用いた数値計算をされることをお勧めします。数値計算の仕方についても、色々な教科書が出ています。
（たとえば、ニューメリカルレシピなど。）
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4874085601/250-3626700-8479410?v=glance&n=465392

最後に、任意の時間とのことですが、どの程度の時間スケールを考えておられるのでしょうか？というのも、シリコンにバンドギャップよりも短いレーザーを照射した場合、電子正孔対生成に始まり、種種の緩和過程が連鎖ないしは競合して起こります。短い時間スケールでは、これらそれぞれの過程の時定数を考慮して、各時刻の状態のモデル化が必要になり、単純な熱伝導方程式の適用範囲を超えてしまいます。

お礼

とても詳細にお答え頂き有難う御座いました。非常に具体的にお答え頂きすごく参考になりました。
有難う御座いました。
モデル化は難しそうですが、頑張ってみます。
実際には、単結晶シリコンの上に780nmのレーザーを照射し、そのシリコンの共振周波数（200kHz）で変調し振動させています。この振動の原因が深さ方向の熱分布の変化ではないかと考えて解析しようとしています。今回はとりあえず、レーザーが照射されている部分のみの深さ方向での温度分布がどうなっているかを考えようとしていました。しかし、やはり、このようなkHzオーダーになると、いろいろなことを考えなくてはいけなくなるみたいですね。勉強になりました。いろいろ調べてみることにします。もし、何か参考できるような書物がありましたら、是非教えていただけると幸いです。