円を通過する扇形 面積問題

質問

面積の計算について知恵をお借りしたいです。
図のような円と扇形を考え、扇形がある一定速度で円上を回転するとき、
円の露出面積（図では黒い部分）を式で表したいです。
式で表すということが出来なくて困っています。
円の半径やら扇形の速度やらは特に決まっていないので必要な値は変数で適当に置いて下さって問題ないです。（半径：r、角速度：ω etc）
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#222520 · ベストアンサー

回答に画像を添付する術を知りませんので、どうかご容赦ください。
なお、回答内容に沿って作図して頂き、さらに疑問があれば補足してください。

添付画像の上段左から順に図(1)、図(2)、図(3)、下段左から順に図(4)、図(5)とし、
円の中心を点O1、半径をr1、扇形の中心を点O2、半径をr2、中心角をθ’、円は図(3)のように、扇形に内接する大きさであるとします。（円の大きさ・位置を特定しても、扇形の中心・半径・中心角は変わり得ます。）
また、図における円の中心を通る縦線を直線l1とし、扇形の左側の半径（線分）をO2A、右側の半径（線分）をO2Bとします。
点O2から円の右側に引いた接線を直線l2とし、この直線とO2Aのなす角の大きさを、時間変化を加味してωt（ωは角速度、tは時間）とすると、図(1)ではωt=0になります。
そして、扇形が図(2)のように点O2を中心に右回りすると、直線l1とO2Aのなす角の大きさは、θ'/2-ωt
O2Aと円の交点をCとD、O2Aと直交する円の直径とO2Aの交点をH1、∠CO1H1=α(0≦α≦π/2)とすると、
(r2-r1)sin(θ’/2-ωt)=r1cosα→cosα={(r2-r1)/r1}sin(θ’/2-ωt)－(a)
なお、この関係は、0≦ωt≦θ’の間で成り立ちます。（図(1)～図(3)）

また、θ’＜ωt≦2θ’の間では（図(4)と図(5)）、O2Aが円から離れるので、O2Bと円の関係を考えます。
直線l1とO2Bのなす角の大きさは、ωt-3θ’/2
O2Bと円の交点をEとF、O2Bと直交する円の直径とO2Bの交点をH2、∠EO1H2=β(0≦β≦π/2)とすると、
(r2-r1)sin(ωt-3θ’/2)=r1cosβ→cosβ={(r2-r1)/r1}sin(ωt-3θ’/2)－(b)

さらに、2θ’＜ωtでは、O2Bも円から離れます。
この扇形が一周すると、O2Aが再び円に接触するようになりますが、これ以上は省略します。

ここで、円：x^2+y^2=r^2の面積Sは、4∫[0→r]√(r^2-x^2)dx（2∫[-r→r]√(r^2-x^2)dx）
x=rcosθとおくと、dx/dθ=-rsinθ→dx=(-rsinθ)dθ
x：0→rのときθ：π/2→0であるから、
S
=4∫[π/2→0]{√(r^2-r^2cos^2θ)}・(-rsinθ)dθ
=4∫[π/2→0]rsinθ・(-rsinθ)dθ
=4r^2∫[0→π/2]sin^2θdθ
=4r^2∫[0→π/2]{(1-cos2θ)/2}dθ
=2r^2[θ-(sin2θ)/2][0→π/2]
=πr^2

円の露出面積は、これと同様に考えて（θは変数で、θ’は定数です。）、

・0≦ωt≦θ’のとき
2r^2∫[α→π]{(1-cos2θ)/2}dθ
=r^2[θ-(sin2θ)/2][α→π]
=r^2{π-α+(sin2α)/2}（αは、上式(a)の関係を満たします。）

・θ’＜ωt≦2θ’のとき
上と同様に（0≦ωt≦θ’のときを鏡に映した状態として捉え、θ：β→πとします。）、
r^2{π-β+(sin2β)/2}（βは、上式(b)の関係を満たします。）

なお、三角関数を用いないで、αとβの値を直接求めることは、自分の能力ではできませんでした。

お礼

revenge-goさん。
ありがとうございます！とても参考になりました！！
またごちゃごちゃ計算してみます（笑）

回答No.3

noname#222520

何度も失礼致します。

tは変数で、ωとθ’は定数なので、『0≦ωt≦θ’』『θ’＜ωt≦2θ’』『2θ’＜ωt』は、
それぞれ『0≦t≦θ’/ω』『θ’/ω＜t≦2θ’/ω』『2θ’/ω＜t』と表現した方が適切でした。

回答No.2

noname#222520

ANo.1の訂正です。

円の半径をr1としたので、円の露出面積におけるr^2はr1^2の誤りです。