回答に画像を添付する術を知りませんので、どうかご容赦ください。
なお、回答内容に沿って作図して頂き、さらに疑問があれば補足してください。
添付画像の上段左から順に図(1)、図(2)、図(3)、下段左から順に図(4)、図(5)とし、
円の中心を点O1、半径をr1、扇形の中心を点O2、半径をr2、中心角をθ’、円は図(3)のように、扇形に内接する大きさであるとします。（円の大きさ・位置を特定しても、扇形の中心・半径・中心角は変わり得ます。）
また、図における円の中心を通る縦線を直線l1とし、扇形の左側の半径（線分）をO2A、右側の半径（線分）をO2Bとします。
点O2から円の右側に引いた接線を直線l2とし、この直線とO2Aのなす角の大きさを、時間変化を加味してωt（ωは角速度、tは時間）とすると、図(1)ではωt=0になります。
そして、扇形が図(2)のように点O2を中心に右回りすると、直線l1とO2Aのなす角の大きさは、θ'/2-ωt
O2Aと円の交点をCとD、O2Aと直交する円の直径とO2Aの交点をH1、∠CO1H1=α(0≦α≦π/2)とすると、
(r2-r1)sin(θ’/2-ωt)=r1cosα→cosα={(r2-r1)/r1}sin(θ’/2-ωt)－(a)
なお、この関係は、0≦ωt≦θ’の間で成り立ちます。（図(1)～図(3)）
また、θ’＜ωt≦2θ’の間では（図(4)と図(5)）、O2Aが円から離れるので、O2Bと円の関係を考えます。
直線l1とO2Bのなす角の大きさは、ωt-3θ’/2
O2Bと円の交点をEとF、O2Bと直交する円の直径とO2Bの交点をH2、∠EO1H2=β(0≦β≦π/2)とすると、
(r2-r1)sin(ωt-3θ’/2)=r1cosβ→cosβ={(r2-r1)/r1}sin(ωt-3θ’/2)－(b)
さらに、2θ’＜ωtでは、O2Bも円から離れます。
この扇形が一周すると、O2Aが再び円に接触するようになりますが、これ以上は省略します。
ここで、円：x^2+y^2=r^2の面積Sは、4∫[0→r]√(r^2-x^2)dx（2∫[-r→r]√(r^2-x^2)dx）
x=rcosθとおくと、dx/dθ=-rsinθ→dx=(-rsinθ)dθ
x：0→rのときθ：π/2→0であるから、
S
=4∫[π/2→0]{√(r^2-r^2cos^2θ)}・(-rsinθ)dθ
=4∫[π/2→0]rsinθ・(-rsinθ)dθ
=4r^2∫[0→π/2]sin^2θdθ
=4r^2∫[0→π/2]{(1-cos2θ)/2}dθ
=2r^2[θ-(sin2θ)/2][0→π/2]
=πr^2
円の露出面積は、これと同様に考えて（θは変数で、θ’は定数です。）、
・0≦ωt≦θ’のとき
2r^2∫[α→π]{(1-cos2θ)/2}dθ
=r^2[θ-(sin2θ)/2][α→π]
=r^2{π-α+(sin2α)/2}（αは、上式(a)の関係を満たします。）
・θ’＜ωt≦2θ’のとき
上と同様に（0≦ωt≦θ’のときを鏡に映した状態として捉え、θ：β→πとします。）、
r^2{π-β+(sin2β)/2}（βは、上式(b)の関係を満たします。）
なお、三角関数を用いないで、αとβの値を直接求めることは、自分の能力ではできませんでした。
お礼
revenge-goさん。 ありがとうございます！とても参考になりました！！ またごちゃごちゃ計算してみます（笑）