離散数学の存在問題

質問

次の問題、けっこう考えているのですが、解けません。
そろそろ、精神衛生上、悪いので、
教えていただけたら幸いです。

　15個の○印を図1のように書く。
それぞれを白か黒に塗るとき、どのように塗ろうとも、
同じ色の３つの○が存在し、それらを頂点とする正三角形が存在することを証明せよ。
（対称性を利用し、「一般性を失うことはなく」という句を用い、簡潔な解答をつくれ）。

　 ○
　 ○○
　 ○○○
　 ○○○○
　○○○○○
　　　　図1
図はずれまてしまいますが、ピラミット状（全体が正三角形）
となっています。2項分布の図を想起ください。

原典で「○」は一円玉です。
出典：ラーソン著　秋山/飯田訳『数学発送ゼミナール　１』（シュプリンガー・フェアークラーク東京）、49頁

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

簡潔な解答かどうか分かりませんが

１５個の○を次のように記号で表すことにする。

　　　　Ａ
　　　Ｂ　Ｃ
　　Ｄ　Ｅ　Ｆ
　Ｇ　Ｈ　Ｉ　Ｊ
Ｋ　Ｌ　Ｍ　Ｎ　Ｏ

同じ色の３つの○の正三角形が存在しないと仮定すると、
一般性を失うことはなく、Ａ＝白、Ｋ＝黒、Ｏ＝黒　としてよい。
また、Ｄ、Ｆの少なくとも一方が黒なので、一般性を失うことなく、Ｄ＝黒　としてもよい。
そのとき、
Ｍ＝白（Ｋ＝黒、Ｄ＝黒なので）
Ｇ＝白（Ｈ、Ｌの少なくとも一方が黒なので）
Ｊ＝黒（Ａ＝白、Ｇ＝白なので）
Ｎ＝白（Ｊ＝黒、Ｏ＝黒なので）
Ｉ＝黒（Ｍ＝白、Ｎ＝白なので）
Ｆ＝白（Ｉ＝黒、Ｊ＝黒なので）
Ｃ＝黒（Ｂ、Ｅの少なくとも一方が白なので）
Ｈ＝白（Ｃ＝黒、Ｊ＝黒なので）
Ｌ＝黒（Ｇ＝白、Ｈ＝白なので）
このとき、
黒の正三角形ＣＬＯができるので仮定に反する。

よって、同じ色の３つの○の正三角形が必ず存在する。

補足

「Ｇ＝白（Ｈ、Ｌの少なくとも一方が黒なので）」

というところでひっかかってしまいました。

「Ｈ，Ｌの少なくとも一方が黒」だけでは
Ｇは白とは言えません。

ここでＧ＝黒、白で分岐するのでしょうか。

回答No.2

nag0720

＞「Ｈ，Ｌの少なくとも一方が黒」だけではＧは白とは言えません。

もう少し詳しく書くと、

Ｈ，Ｌの少なくとも一方が黒なので、もしＧが黒だとするとＤＧＨかＧＫＬのどちらかが黒の正三角形になるため、Ｇは白でなければならない。

ということです。ちょっと省略しすぎましたか。

お礼

なるほど、了解。

最初の３行で、黒－白の反転の対称性、
ピラミッドの回転対称性、
もういちど、ピラミッドの裏表の対称性
を１度づつ活用すると、場合分けなしで
一直線に行くという、ことですね。

おそらく出題者の意図通りの解答なのでしょう。
ありがとうございました。