２次関数の式を求める問題です。

質問

解いていて、何やらドツボにはまっちゃってような気がして、
分からなくなってしまいましたので、よろしくお願いします。
（ちなみに、解説付きでお願いします）

問題は、
２点(-1, 3) , (1, -1)を通り、頂点が直線 y = - x 上にある２次関数の式を求めよ、
という問題です。

よろしくお願いします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

頂点がy=－x上にあるので、頂点の座標を(p, －p)とおく。
このとき、求める放物線を平方完成したときの式は
y=a(x－p)^2－p …… (1) と書くことができる。
(1)式に2点(－1, 3), (1, －1)を代入する。
3=a(－1－p)^2－p …… (2)
－1=a(1－p)^2－p …… (3)

(2)より、
(p^2+2p+1)a－p=3
ap^2+2ap+a－p=3 …… (4)

(3)より、
(p^2－2p+1)a－p=－1
ap^2－2ap+a－p=－1 …… (5)

(4)－(5)より、4ap=4
ap=1, p=1/a …… (6)

(6)を(4)に代入する。
1/a + 2 + a － 1/a = 3
∴a=1, p=1

求める放物線は、y=(x－1)^2－1=x^2－2x

お礼

ありがとうございました！
(6)のap=1までは求めれたのですが、
ここから全く進まなくなっていました＞＜
代入すれば、求めれたんですね^^;

回答No.3

noname#174212

頂点が直線y=－x上にあるので、ここだけで式をつくると、y=a(x+1)^2+b…(1)になります。

二点（-1, 3）(1, -1)を通るので、これらをy=ax+bに代入して、
それぞれ 3=-a+b…(2), -1=a+b…(3)になります。

(2)と(3)を足して、2b=2　両辺を約分して、b=1になります。

b=1を(3)に代入して、a=-2　になります。

b=1, a=-2を(1)に代入してy=-2(x+1)^2+1になります。

わからない点があったら補足で質問してください。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

suko22

2次関数のグラフをどうおくか、上手く考えないといけません。

頂点がｙ＝-ｘ上にあるから、に注目して、頂点のｘ座標をｐとすると、ｙ座標は-ｐと表せます。
よって、頂点の座標は（ｐ、-ｐ）と一変数で表せます。頂点の座標が表せたら、

求める２次関数をｙ＝a(x-p)^2-pとおけますね。

求めたいのはaとｐの2つ。

（-1,3）と（1,-1）を通るという条件から、それぞれの点を上の2次関数の式に代入して、連立方程式を解けばaとｐがでて、答えが求まります。

ここは自分で計算してみてください。

お礼

ありがとうございました！