球面三角形の余弦法則

質問

「球面三角形ABCの3辺BC, AC, AB間の角がα, β, γ(中心においてなす角で測る)で角C=θとするとき,
cosγ=sinαsinβcosθ+cosαcosβ
が成り立つことを示せ」という下記の通り解こうとしました。

C(0,0,1)ととり, Aがzx平面上のにあるとするとA(sinβ, 0, cosβ)となります。
OA•OB=cosγだからOBを求められれば示せると考えました。
おそらくOB=(sinαcosθ, ～, cosα)となるはず回転行列を用いてOBを求めよう。

と考えたのですがここで分からなくなりました。
どなたか求め方を教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足質問について

わざわざ回転行列を使って複雑にしなくてもA#1の回答の参考URL通りにやれば簡単に余弦定理を導けるのに！

でもそうしたいなら、
>OB=(sinαcosθ, ～, cosα)となることを回転行列を用いるとどういう行列の演算になるかを教えていただきたかったのです。

OB=(sinαcosθ,sinαsinθ,cosα)
回転行列M=
(cosαcosθ,cosαsinθ ,-sinα)
(-sinθ　　, cosθ　　 ,　0　 )
(sinαcosθ, sinαsinθ, cosα)

OC=(0,0,1)

OB=OC*M

でOBが出ます。

Mの求め方は三次元アフィン変換を勉強すれば求めることが出来るでしょう。
これについては長くなりますので自力でアフィン変換の勉強をして導いて下さい。
更に余弦定理を導くための計算が必要になります。この方法は余りお勧めではありません。

その点、三次元アフィン変換の知識がなくても簡単な三次元ベクトルの知識さえあれば
A#1の参考URLの解法で余弦定理の導出が簡単に出来ますよ。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど行列を使うと面倒なんですね。。。

まずは普通の解法を理解したいと思います。でアフィン変換は勉強してみます！

回答No.2

info22_

#1です。

他にも別の方法で球面三角形ABCの余弦定理の導出法が載っていますので参考にしてください。
参考URLの3ページ目
http://www.astro.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~kenta/eclipse/SphericalTriangle081106.pdf

参考URL：

http://www.astro.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~kenta/eclipse/SphericalTriangle081106.pdf

補足

回答ありがとうございます。
少し質問文で伝わりにくかったところがあるので補足します。

OB=(sinαcosθ, ～, cosα)となることを回転行列を用いるとどういう行列の演算になるかを教えていただきたかったのです。
分かりにくい質問文ですみません。

回答No.1

info22_

球面三角法の余弦定理の導出法は参考URL
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SphereTriangle/
にそっくり載っています。
ただし、使っている文字が異なっていますので、質問者さんのお使いの文字に読み替えて下さい。球面三角形ABCにおいて
参考URLの(a,b,c,α,β,γ)→質問者さんの(α,β,γ,∠A,∠B,∠C=θ)
に対応します。

なお,球面三角法では球の中心をＯ、球の半径を仮に1とすると
∠AOC=b=弧AC(球面三角形ABCの辺AC),
∠AOB=c=弧AB(球面三角形ABCの辺AB),
∠BOC=a=弧BC(球面三角形ABCの辺BC)
となります。

参考URL：

http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SphereTriangle/