数I+A 二次方程式の問題

質問

初めまして。
私は現在２０代会社員として働いていますが、医学部を再受験したいと思い、まずは数学をやり直しています。元々文系のため、参考書を読んでも理解しづらい問題があり、是非こちらで皆さんの力を貸していただければと思い質問させていただきます。

問：
a. b.を有理数とする。 x^2 + ax +b=0 の一つの解が1+√２であるとき、定数a,bの値と他の解を求めよ

わからない部分：
ｘに１+√２を代入すると３ + ２√２ + a + √２a + b =0
ここまではわかります。
ですが、解答では次の式変形として
（a+b+3） +　（a+2）√２=０　となり、
a,b は有理数より　a + b +　3=0 , a+２=０
これを解いてa= -2, b= -1
となっています。

私は、
（a+b+3） +　（a+2）√２=０
の式変形は思いつかないなと。。
さらに、なぜ、（a+b+3）, （a+2）が０になるのかが理解できません。
上手く説明できるかたいませんか？

回答No.5

eco1900 · ベストアンサー

簡単に言ってしまえば、「有理数」と「無理数」に分けておいて、それが「＝０」ということに着目します。

・有理数とは、分数の形に表示できる数のことです。
（例）3，－5.3，3/4　など

・無理数とは、分数の形に表示できない数のことです。代表としては「√」のついた数のことです。

だから、質問者さんが理解している段階の等式について・・・

＞わからない部分：
＞ｘに１+√２を代入すると３ + ２√２ + a + √２a + b =0　（＊）
＞ここまではわかります。

（＊）について、解答などでは「√の含まれている部分」と「そうではない部分」とに分けて表示しているだけですよ。

では、どうしてそのようにしなければならないのか？というと・・・次のような定義があるからです。

【AとBが有理数で、√Cが無理数とするならば、次の等式においてはA＝０でありB＝０となる。】

つまり、手短に言えば→「A＋B√C＝０ならば、A＝０、B＝０」

だから、（＊）の式を「A＋B√C＝０」の形に変形して、A＝０、B＝０として解けばいいんですよ。

頑張ってください！^^

お礼

A＋B√C＝０ならば、A＝０、B＝０
これですね！言われてみるとわかりますが、一人では気が付きませんでした。

ありがとうございます。頑張ります。

回答No.7

MarcoRossiItaly

No.6です。
すみません、一部、不適切な表現がありました。

「もし、a+b+3が有理数だとしたら、」

「a+2=0, ±√2, ±√2/3, ±2√2…」

と、「もし、…」の1行を追加でお願いします。

お礼

皆様大変わかりやすい説明どうもありがとうございました。
（２+a）√２=０
√がつくことによって、a.bは有理数なので、答えは０にしかならないという考え方で納得できました。
No.1さんの言うとおり勉強不足なので精進します。

これからもよろしくお願いいたします。

回答No.6

MarcoRossiItaly

皆様のご回答と同じことですが、もう一度、なるべく簡単にご説明しますね。

（a+b+3）+（a+2）√２=０

という変形では、ルートの部分とそれ以外に分けていますね。
この操作にはメリットがあるということです。

もし有理数とか無理数とかを考えなければ、「上の式を満たす可能性があるa+2」としては、具体的な数で言うと、何が考えられますか？

a+2=0, ±√2, ±√2/3, ±2√2…

といった具合に、無数に答えがありそうですね？
右辺がゼロなので√を消すことができる数である必要はありますが、答え自体は無数にあります。

しかし条件では、a、bが有理数だと言っています。
aが有理数なら、a+2も間違いなく有理数です。
（aが整数とか循環する無限小数なら、そこに2を足しても循環しなくなることはありませんね）

a+2は有理数だから、可能性として残るのは、a+2=0だけになるのです。
a+2=0であれば、等式を満たすために、自動的にa+b+3=0と決まるわけです。
以上が、式変形のメリットです。

今回は有理数でしたが、いわゆる「整数問題」でも、似たような式変形と絞り込みにより解く問題がみられます。
とにかく、こういうふうに解くんだなと覚えましょう。

ちなみに、No.2さんがとても大切なことを指摘をしてくださってますので、そちらも是非、参考になさってください。

お礼

この問題では有理数と無理数をちゃんと理解してないとだめでしたね。
無理数=√２、　　有理数a×無理数=０であれば、aは０しかありませんね。
どうもありがとうございました。

回答No.4

nattocurry

> 私は、
> （a+b+3） +　（a+2）√２=０
> の式変形は思いつかないなと。。

それは、勉強不足なだけです。
このような解き方をする問題は珍しいものではありません。
これを機に、こういう解き方もあるんだということを知りましょう。

> なぜ、（a+b+3）, （a+2）が０になるのかが理解できません。

無理数の有理数倍が有理数になることはありません。
無理数×有理数＝無理数
です。

そして、
無理数＋有理数＝無理数
です。

有理数であるa+b+3と、(a+2)√2を足して、有理数である0になるということは、(a+2)√2は有理数でなければなりません。
(a+2)√2が有理数であるためには、(a+2)√2=0、つまりa+2=0である必要があります。

(a+2)√2=0ならば、(a+b+3)+(a+2)√2=0は、a+b+3=0となります。

お礼

改めてこういうふうに教えていただけると一人で考えていても気がつかないなぁと思います。

大学受験の数学問題に関しては、以下に問題パターンを理解して、解答を再現できる数を効率良くを増やしていくかが
鍵だと思っているので、こういう解き方もあると覚えられたのは大きな一歩だと思います。

どうもありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

＞さらに、なぜ、（a+b+3）, （a+2）が０になるのかが理解できません。
ある意味、このようなことを証明する問題もあったりしますよね。
「m, nを有理数、√2を無理数とする。m+ n√2＝ 0ならば、m＝ n＝ 0であることを示せ。」

証明自体は背理法を用います。
というよりも、√2＝ -m/n（n≠ 0のとき）は明らかに矛盾してますよね。
左辺は無理数、右辺は有理数になっているので。

ある意味、√2は文字扱いしている感覚になります。

あと、1+√2が解であれば、1-√2も解となることを頭に入れておいてください。
これは、2次方程式の解の公式をよく見るとわかると思います。

お礼

高校以来、数学には触れていなかったので、新鮮で勉強していて楽しいです。こういう証明問題もでてくるのですね。
覚えておきます。ありがとうございました。

回答No.2

noname#140201

私だったら
一つの解がx=1+√2ならこの２次方程式はa,bが有理数なのでもう一つの解はx=1-√2になりますので
この方程式は
{x-(1+√2)}{x-(1-√2)}=0と表せますので
これを展開して
x^2-(1-√2)x-(1+√2)x+(1+√2)(1-√2)=0
x^2-2x-1=0
となりますので
a=-2,b=-1という方法にします

お礼

因数分解の解の傾向からしてもう一つの解はx=1-√２だろうなとは思ったのですが。。。
やっぱりそうなんですね。どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#142849

有理数と無理数について少しおさらいされると宜しいかと。
式変形は、結論の考え方を先に思いついて、その結論に持って行くための手法です。ゴールが先に見えていないと出来ない変形です。

お礼

そうですね。勉強不足なのでもっと精進します。ありがとうございます。