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複素数の問題です
α＝cos72°＋isin72°のとき、cos72を求めよという問題です。考えたのですがわからなかったので、是非教えてください。！
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毎回 72°書くのは大変なので θ = 72°とします。 まず、5θ = 360°であることから α^5 = 1 …(1) となります。 α の複素共役を β として (1)式の両辺に β をかけると α^4 = β （ただし αβ = 1 ） さらに両辺 β をかけて α^3 = β^2 が得られます。 ここで、(1)式を変形して α^5 - 1 = 0 ⇔(α - 1)(α^4 + α^3 + α^2 + α + 1) = 0 明らかに α≠1 なので α^4 + α^3 + α^2 + α + 1 = 0 ⇔ β + β^2 + α^2 + α + 1 = 0 ⇔ (α^2 + β^2) + (α + β) + 1 = 0 ⇔ 2cos(2θ) + 2cosθ + 1 = 0 ⇔ 2{2(cosθ)^2 - 1} + 2cosθ + 1 = 0 ⇔ 4(cosθ)^2 + 2cosθ - 1 = 0 あとは、cosθ＞0 に注意して この2次方程式を解けば求まります。
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> cos72°と具体的に与えられているのだから、具体的にルートなどを使って > 求めよ、という意味ではないでしょうか? そうですね。^^; (72°だし) # わざわざ「α＝cos72°＋isin72°のとき」なんて言うからさぁ… # 「cos72°の値を計算せよ」だけでええやん。 # ↑言い訳
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- keyguy
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回答しようと思ったら出てましたね。 でも送ります。 １／α＝ｃｏｓ（７２°）－ｉ・ｓｉｎ（７２°） 従って α＋１／α＝２・ｃｏｓ（７２°）・・・（＊） また α＾５＝ｃｏｓ（７２°×５）＋ｉ・ｓｉｎ（７２°×５）＝１ すなわち α＾５－１＝ （α－１）・（α＾４＋α＾３＋α＾２＋α＋１）＝０ α≠１であるから α＾４＋α＾３＋α＾２＋α＋１＝０ α≠０であるからα＾２でわって α＾２＋α＋１＋α＾（－１）＋α＾（－２）＝０ すなわち （α＋１／α）＾２＋（α＋１／α）－１＝０ ２次方程式の根の公式より α＋１／α＝（－１±√（５））／２ （＊）より α＋１／α＝２・ｃｏｓ（７２°）だから ２・ｃｏｓ（７２°）＝（－１±√（５））／２ 左辺が正だから ２・ｃｏｓ（７２°）＝（√（５）－１）／２ 従って ｃｏｓ（７２°）＝（√（５）－１）／４
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丁寧なアドバイスありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆
cos72°と具体的に与えられているのだから、具体的にルートなどを使って 求めよ、という意味ではないでしょうか? α はとりあえず置いただけだと思いますがどうでしょう。
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#1です。 αの虚数部のプラスマイナスを入れ替えたものをβとします。 つまりβ=cos72°-isin72° すると α+β=2cos72°※1 また、 αβ=(cos72°＋isin72°)(cos72°-isin72°) =cos^2(72°)+sin^2(72°)…(1) =1…(2)※2 なので（(1)は中学数学(2)はcos^2+sin^2=1の公式） ※2よりβ=1/α これを※1に代入して α+1/α=2cos72° ∴cos72°=(α+1/α)/2
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1の５乗根です。 いろいろな解法があると思いますが 例えば x＾5＝1 x＾5ー1＝0 が解ければいいでしょう。 因数分解して４次方程式を解きます。(相反方程式) これが解けるということは正5角形が作図できることでもあります。
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conj(α) = cos72°- isin72° ですから， α + conj(α) = 2 cos72° よって， cos72°= (α + conj(α)) / 2 です。 ※conj(α) は α の共役複素数です。
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α=exp(i×72°) であり、 1/α=exp(-i×72°)=cos72°-isin72° よって α+1/α=2cos72° ∴cos72°=(α+1/α)/2 間違っていたらごめんなさい。
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迅速な解答ありがとうございました。参考になりました！またお願いします。☆
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今回rynさんの解法で説かせてもらいました。非常に参考になりました。ありがとうございます！またお願いします☆