二階非同次型線形微分方程式について
(1+x^2)y"-2xy'+2y=(1-x^2)/xを解きたいのです。
解の一つとしてy=xlogxは与えられています。
ヒントとして未定係数法で解くと書かれてあったのですが、今一わからなかったので他の方法を使って途中まで解いてみました。ですが行き詰ったのでここで質問させていただきます。
以下自力での解法
y=cxと置き、cをxの関数とみなすと、
y'=c'x+c,y"=c"x+2c'
与式に代入して
(1+x^2)(c"x+2c')-2x(c'x+c)+2cx=(1-x^2)/x
x(1+x^2)c"+2c'=(1-x^2)/x
同次形について考える
c'=uと置く
x(1+x^2)u'+2u=0
-(1/u)u'=1/x(1+x^2)
両辺積分して
log|u|=-log|sinθ|+C1 (右辺はx=tanθとして積分しました)
u=C2/sinθ
ここまで出来たのですが、ここから先が分りません。そもそもθのままなのでxになおすとθ=tan-1x、u=C2/sin(tan-1x)となり、計算が行き詰ってしまいます。
助けてください。
