場合の数（ＰとＣの使いまわし）

質問

0、1、2、3、4の５個の数字のうち異なる数字を使って３桁の数字を作ると□通りできる。

ⅰ）c=0のとき、4Ｐ2×1=12通り
ⅱ）c=2、4のとき3Ｃ1×3Ｃ1×2Ｃ1=18通り
ⅰ）ⅱ）より12+18=30通り

Ｐを使って解いたときはなぜＣを使ってはいけないのか、
また、Ｃを使って解いたときはなぜＰを使ってはいけないのでしょうか？
ＰとＣの使いまわしの方法がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.6

puni2

問題の解き方についてはすでに出ている回答でおわかりと思いますので（もしまだよく分からないようでしたら，教科書や参考書で，順列・組合せのところを初めから復習する必要があるでしょう），それ以外のところでアドバイスを。

まず，問題は「3桁の数字」で間違いありませんか？
すでに指摘が出ているように，「3桁の偶数」ではありませんか。確かめてください。

次に，解答として示されたi)やii)で，いきなり小文字のcが出てきていますが，これは模範解答の一部分であって，その前のほうできちんと説明があるのでしょうか？
それならいいのですが，そうでない場合，つまり，何の説明もなしに，問題文にもないような文字を解答で突然使ってはいけません。

次に，ローマ数字（大文字はI, II, III, IVなど。小文字はi, ii, iii, ivなど）を全角で書くと，マッキントッシュのパソコンなどからは読めませんので，半角を使いましょう。

それと，「使いまわし」ではなく「使い分け」です。
使いまわす＝本来は別々のものを使うべきところを，同じもので間に合わせる。
使い分ける＝(1)同じものをいくつかの使いみちに応じて違った使い方をすること。(2)いくつかのを，場合場合に応じてきちんと区別して使うこと。
この問題の場合は(2)ですね。

お礼

アドバイスをありがとうございます。
ここで質問をさせていただくときには、どのように表現すれば回答していただく方に
質問の趣旨がおわかりいただけるかと、そのことで頭がいっぱいになり、所々で抜けてしまうことがあります。
すみません。

これは３桁の「偶数」を求めるという問題です。問題文で抜けてた部分がありました。
解説には３桁の偶数をabcとすると、これが偶数になるにはc=0、2、4のいずれかのときだけ となる。
というのが解説でありまして「c=0のとき」というのが出てきます。

問題の重要な部分が抜けてしまい、すみませんでした。

回答No.5

fushigichan

Lone1001さん、こんにちは。
いくつか回答が出ていますが、

＞ⅰ）c=0のとき、4Ｐ2×1=12通り
ⅱ）c=2、4のとき3Ｃ1×3Ｃ1×2Ｃ1=18通り
ⅰ）ⅱ）より12+18=30通り

この小文字のcという意味が書かれていませんね・・
もしかして、
＞0、1、2、3、4の５個の数字のうち異なる数字を使って３桁の数字を作ると□通りできる。

異なる数字は、偶数、という意味ではないでしょうか？
（３桁の偶数を作る、という問題）
小文字のcは、１の位の数のことですね？

＞ⅰ）c=0のとき、4Ｐ2×1=12通り

１の位が０のとき。
百の位は、１，２，３，４の４つのうちの１つで４とおり。
十の位は、１，２，３，４のうち、百の位で使われなかった３つのうちの１つで３とおり。
なので、４×３＝１２とおり。

これは、結果として、百の位の数、十の位の数を
１，２，３，４から順序つきで２つ選んできた、ということと同じなので
（たとえば、１２と２１は違いますよね？１２０と２１０は違う数字なので）
４Ｐ２＝４×３＝１２
となるんですね。

＞ⅱ）c=2、4のとき3Ｃ1×3Ｃ1×2Ｃ1=18通り

同様に考えれば、
１の位は、今２または４なわけですね。
百の位は、０では３桁になりませんから、０以外かつ、１の位のもの以外です。
つまり、１，２，３，４のうちの、１の位のもの以外といえば、３つのうちから１つ選ぶので３とおり。
十の位は、１，２，３，４のうち、百の位でも１の位でも使われなかったもの（２つですね）＋０でもＯＫですから、３とおりです。

よって、３×３×２＝１８とおり
　　　　　　　　↑
この２というのは、１の位が２か４か、ということですね。

これも、３×３×２というのは、
最初の３は、（１，２，３，４）のうち、１の位で使われたもの以外なので
３Ｃ１＝３
次の３は、（１，２，３，４）のうち、１と百の位で使われなかったもの２つ＋０の３とおりから１つ選ぶので
３Ｃ１＝３
ということですね。

＞Ｐを使って解いたときはなぜＣを使ってはいけないのか、
また、Ｃを使って解いたときはなぜＰを使ってはいけないのでしょうか？

Ｐを使って解いたときは、上で書きましたように、
上２桁が１２と２１では違う数字になるからですね。
上２桁が１２で、下１桁が０のものは、１２０
上２桁が２１で、下１桁が０のものは、２１０だからです。

また、Ｃを使って３つのうちから１つ選ぶのは
３Ｃ１としましたが、これは、１つを選んでくるだけですので
順序は１つしかないので、
３Ｃ１＝３Ｐ１ですので、どちらでもいいんですね。
選ぶのは１つだけなので、順序もくそもないので、３Ｃ１とされています。
長くなってしまいましたが、ご参考になればうれしいです。

補足

ご回答をありがとうございます。
抜けてた部分があり、わかりにくくなってしまいましたね。すみません。訂正させていただきます。

・３桁の「偶数」を求めるという問題です。

・３桁の偶数をabcとすると、これが偶数になるにはc=0、2、4のいずれかのときだけ
となる。
という解説がありまして、
「c=0のとき(一の位です)」というのが出てきます。

質問の仕方が悪かったのにもかかわらず、問題の趣旨を汲み取っていただき、ありがとうございました。

基礎事項問題集で、もう一度ＰだけとＣだけの問題を解いてみたのですが、こういった問題を
ポンと出されると問題文は「並べ方」「選び方」どちらの趣旨なのか理解できません。
感覚が全くつかめないというか、この分野ほど、悩まされるものはないです(^^;

>Ｐを使って解いたときは、上で書きましたように、
上２桁が１２と２１では違う数字になるからですね。
上２桁が１２で、下１桁が０のものは、１２０
上２桁が２１で、下１桁が０のものは、２１０だからです。

例えばⅰ）の場合、
Ｃを使って解くと間違ってしまうのはどうしてですか？
問題の解説を読んでいくうちに、先に条件のキツイものについて考えたときは、
残りのものはＰではなくＣを用いて考えるという感じがしたのですが、
でもここではc=0というキツイ条件を先に考えてもＰは使える・・・

こんがらがってます。すみません、もう一度教えてもらえませんか？

回答No.4

noname#6248

#3です。回答を書き終えてから思いました。
nＰ1＝nＣ1＝ｎですよね？
模範解答(？)に、無理やり難しく『nＣ1』と書いていて
質問者は『nＰ1では駄目なの？』と言うイメージが湧きました。
私は数学者でも数学論者でもないですが、私なら黙って『ｎ』を書きますし、
不正解だと言うアホがいたら小一時間説教しても良いです。

追記するほどでもないですが…
百位：ａ　十位：ｂ　一位：ｃで偶数になるには？と言う仮説どおりならば、
『ｃが偶数ならばＯＫと言う事で、c＝1,3は奇数ですのでここでは考えていません。』
また、少し時間がかかるかと思いますが、
ｃ＝０の時：４×３×１
ｃ＝２の時：３×３×１
ｃ＝４の時：３×３×１
として、１２＋９＋９＝３０通りでもＯＫですし
（３桁の数字全ての組み合わせ）－（ｃ＝１の時＋ｃ＝３の時）として
４×４×３－(３×３×１＋３×３×１)＝３０通り
でも十分正解と言えます。
※ａ＝０は３桁の数字殻上害される事に注意！
意図的に不要な×１を書いていますが、
正しい考え方が身につくまでは書いておいたほうが考えやすいですよ。

回答No.3

noname#6248

元家庭教師＆元受験生ということで経験者として回答します。
Ｃは順番を意識しないときに使います。
Ｐは順番を意識する必要があるときに使います。
これらは適時使い分ける必要があります。

>Ｐを使って解いたときはなぜＣを使ってはいけないのか、
>また、Ｃを使って解いたときはなぜＰを使ってはいけないのでしょうか？
こんな事を考えずに、まずは『ＣとＰを使わずに考える力』をつけてください。

私が高校入試対策用家庭教師として戦った時は、ＣとＰは使わせませんでした。
頭の中で５×４×３…と計算できるようになってから
『途中式を書くときに楽な方法』程度で使わせていました。
Ｃの代わりにＰと！で表現する事もまぁ可能ですし、回答が『nPm』と言う変数ならば是非必要でしょうけれど…
私の経験になってしまいますが入試で『10×・・・・×５分の…』と途中式を書きましたが合格しましたよ…
問題集の解答を見て、確認し、そのとおりの途中式を書ける事が良い事と思わないでください。
『正しい考え方をしているか』という肝心なところで失敗する良い例です。
何となく5Ｐ4と書いてみた…おぉ！回答と同じだ→これでは『解っている』とは言えませんよね？
まぁ模範解答と違う事に『何でだろう？』と考える事は大切な事ではあるんですけど、実際に回答が違っている事や、答えをコピーした秀才の回答が正しいとは言い切れませんから本当に注意してください。
ぱっと見ですので推測ですが、
『３桁の偶数』と言う条件がありそうですね。
それならば、100,10,1の位を順にａ，ｂ，ｃとしているような気がします…
つまり
1位が偶数で偶数と言う事で
i)ｃ＝０の場合
ａはｃ以外で４通り
ｂはａとｃ以外の３通り
ｃは０ですから１通り
　４×３×１
ii)２か４ならば
ａはｃと０以外の３通り
ｂはａとｃ以外で３通り
ｃは２か４ですから２通り
　３×３×２
i)→4Ｐ2と書いている
ii)→3Ｃ1×3Ｃ1×2Ｃ1と書いている
そんなところかな…
ＣＰ！を使う前に掛け算と足し算できちんと表せるようになってください。
その為にも
簡易的なトーナメント表(『く』を使った表)
これを面倒がらず書いてください。

お礼

ご回答をありがとうございます。
これはご指摘のとおり、３桁の「偶数」を求めるという問題です。問題文が抜けてた部分がありました。
すみません。
解説には３桁の偶数をabcとすると、これが偶数になるにはc=0、2、4のいずれかのときだけ となる。
というのが解説でありまして「c=0のとき」というのが出てきます。

＞問題集の解答を見て、確認し、そのとおりの途中式を書ける事が良い事と思わないでください。
『正しい考え方をしているか』という肝心なところで失敗する良い例です。
何となく5Ｐ4と書いてみた…おぉ！回答と同じだ→これでは『解っている』とは言えませんよね？
まぁ模範解答と違う事に『何でだろう？』と考える事は大切な事ではあるんですけど、実際に回答が違っている事や、答えをコピーした秀才の回答が正しいとは言い切れませんから本当に注意してください。

たしかにそうですね。解説以外にも解き方があり、解説以外で解いた方がわかりやすく、
簡単な解き方だったと自ら発見するということもありますし、また、なんとなく求まってしまった
ということも何度も経験してますが、それでは曖昧さが残ってしまい、他の問題では通用しないと
思いますので「なぜそうなるのか」と解決するように努めています。

回答No.2

ONEONE

nＰrは順列（permutation）です。（n個のものをr個並べる）
Ｃは組み合わせ（combination）です。（n個のものからr個取り出す）

ところで
＞・）c=0のとき、・）c=2、4のとき
とはなんでしょうか？

□□□　←三桁の数字
↑↑↑
Ｘ Ｙ Ｚ　←数字

Ｘには1、2、3、4の４通りがあります。
Ｙには0とＸに使わなかった3つの数字の4通り。
ＺにはＹに使わなかった3つの数字の3通り。

の４８通りだとおもいます。

お礼

ご回答をありがとうございます。
すみません。抜けてた部分があり、訂正させていただきます。

・３桁の「偶数」を求めるという問題です。

・３桁の偶数をabcとすると、これが偶数になるにはc=0、2、4のいずれかのときだけ
となる。

という解説でして、

c=0のとき

というのが出てきます。

回答No.1

F22Raptor

ＰとＣの使いまわしの前に、
３桁の数字ＡＢＣのＡには０がきちゃだめだから、
Ａにくる数字は１～４で４通り。
ＢＣは残りの４つの数字を自由に並べれるから４Ｐ２。
よって
　４×４Ｐ２＝４８
では？

お礼

ご回答をありがとうございます。
すみません。いくつか抜けてる部分がありまして。
「３桁の偶数を作る」という問題です。