数１ 二次関数

質問

回答を見てもよく理解できないので、教えて下さい。

２次関数y=-3x^2+x-2のグラフを、x軸方向に４、y軸方向に５平行移動した時の放物線の方程式を求めよ。

回答：Y=-3x^2+25x-49
解説：Y=-3(x-4)^2+(x-4)-2+5
=-3x^2+25x-49

ちなみに、私は
Y=-3x^2+x-2を、Y=a(x-p)^2+qの形にして、それからx軸方向に４の部分を(x-p-4)、y軸方向に５の部分をq+5にしようと思い、解いてみましたが、数は合わないし、回答は全く違った解説がしてあるので、さっぱり分かりません。
きっと初歩的なところで引っかかっているのかと思いますが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.6

2718281828 · ベストアンサー

まず、あなたのやり方が間違いではないことを示しておきます（計算が面倒で間違いやすいことは事実ですが）。

　3x^2 + x - 2
　 ＝ -3(x - 1/6)^2 - 23/12
　 → -3(x - 1/6 - 4)^2 - 23/12 + 5
　 ＝ -3(x - 25/6)^2 - 37/12
　 ＝ -3x^2 + 25x - 48

しかし、
> Y=-3x^2+x-2を、Y=a(x-p)^2+qの形にして、それから…
なぜこう考えてしまったのか、なぜ解説読んだだけだはすっきりしないのかと考えると、ちょっとした誤解がありそうですね（単に計算が合わなくて悩んでるだけなら良いのですが）。

一般に y = f(x) のグラフを、x 方向に p、y 方向に q だけ移動したグラフは

　(y - q) = f(x - p)
　y = f(x - p) + q

となります。f(x) の中身、ましてや表現方法には依存しません。これだけなんですねぇ。ですからこの問題の場合、

　y = 3x^2 + x - 2 → (y - 5) = -3(x - 4)^2 + (x - 4) -2

と考えるのが、素直というかストレートな考えです。しかも計算が楽という特典付きです。あなたのように、一旦表現方法を変える必要はありません。

ただし、
・必要な最終形式が a(x-p)^2+q である場合
・一度 a(x-p)^2+q の形にした方が、計算が楽な場合
・-3x^2+x-2 がどんなグラフかを理解した上で、平行移動を考えようという場合
などで、あなたのやり方が効果的になることがあります。

もしすっきりしないようであれば、あなたが a(x-p)^2+q に変形すべきだと考えた理由を教えて下さい。それが分れば、この回答とは違った切り口でお手伝いできるかと思います。

お礼

ありがとうございます。
＞一般に y = f(x) のグラフを、x 方向に p、y 方向に q だけ移動したグラフは
　(y - q) = f(x - p)
　y = f(x - p) + q
Xのときは-Pで理解していましたが、Yのときは+qだと思っていました。
それと、私の答えはしっかり計算が間違っていました。すいません。
ありがとうございました。

回答No.7

mirage70

#8でかかれていますが、再度書かせていただきます。
y=-3x^2+x-2=-3(x-p)^2+q=-3x^2+6px-3p^2+q
よって、6p=1,-3p^2+q=-2
移動後は、
Y=-3(x-p-4)^2+q+5=-3x^2+6px+24x-48-3p^2+q-24p+5
=-3x^2+25x-49
また、Y=-3(x-p-4)^2+q+5を変形しますと、
Y=-3(x-p-4)^2+q+5=-3(x-4)^2+6p(x-4)-2+5=-3(x-4)^2+(x-4)-2+5 と変形出来ます。計算途中で、q=-2+3p^2を使用します。
１般式について、頂点を求めて此を移動させる方法で出して、この頂点を任意に移動させた後の式が、解説してあるのと同じになることを確認すれば納得いくのではないですか。

お礼

ありがとうございました。さっきもう一度解説を見てみたら、よく分かりました。このやり方も、しっかり覚えておきます。

回答No.5

ginta961

こんばんわ。

megurogawaさんが解こうとしたようにやっても、解けないことはないと思いますがメンドイです。

＞x軸方向に４の部分を(x-p-4)、y軸方向に５の部分をq+5にしようと思い
とあるので、平行移動の問題のポイントはわかってるんだと思います。式を変形しなくとも、この場合は、x軸方向に４、y軸方向に５移動させるので、与式のxにx-4、yにy-5を代入してやればいいのです。よって、

(y-5)=-3(x-4)^2+(x-4)-2
Y=-3(x-4)^2+(x-4)-2+5
=-3x^2+25x-49

と、回答のようになります。

参考になったでしょうか？わかりにくかったら申し訳ないです。

お礼

ありがとうございました。
＞式を変形しなくとも、この場合は、x軸方向に４、y軸方向に５移動させるので、与式のxにx-4、yにy-5を代入してやればいいのです。
Y軸方向に移動でもY-5になるのがよく分からないです。でも、ずいぶん計算が簡単になるんですね。

回答No.4

sanori

求める関数は
y-5=-3(x-4)^2+(x-4)-2
です。
これをy=?の形に直して整理すると
y=-3x^2+25x-49

回答No.3

ikkame

x軸方向に４、y軸方向に５平行移動するにはXにx-4をいれ，Yにy-5を入れればいいだけです．
y-5=-3(x-4)^2+(x-4)-2
左辺の-5を右辺に移動すると
y=-3(x-4)^2+(x-4)-2+5
と解説のようになります．

一方めぐろがわさんのやり方でもいいです．Y=a(x-p)^2+qの形にしてみたらどうなりましたか？その場合は，aは-3,pが25/6,qが-23/12です．それからx軸方向に４の部分を(x-25/6-4)、y軸方向に５の部分を23/12+5で，計算しても答えが出ますが，計算が大変なので，計算間違いがしやすいです．
自分も計算間違えしてたりして・・

お礼

ありがとうございました。
＞x軸方向に４、y軸方向に５平行移動するにはXにx-4をいれ，Yにy-5を入れればいいだけです．
Xが-4なのはなんとなく分かりますが、Yはなんで-5になるのか、分からないです。でも、私のやり方で解いてもOKということが分かってよかったです。（計算間違えましたが）ありがとうございました。

回答No.2

noname#5537

#1 の yoppii です。

> 後は展開・整理して，x', y' を改めて x, y と置けば回答と同じになります。

「回答」じゃなくて「解答」やね。恥ずかしっ。

お礼

回答/解答、気をつけます。

回答No.1

noname#5537

ややこしいですよね。
私も高校のとき大混乱に陥った覚えがあります。

まず，元の放物線上の点を (x, y) とすると，
　y=-3x^2+x-2　…(1)
が成り立っているわけですよね。

次に，移動後の放物線上の点を (x', y') とすると，
「x軸方向に４、y軸方向に５平行移動」したわけですから，
　x' = x + 4
　y' = y + 5
なわけです。後で使いやすいように少し変形して，
　x = x' - 4　…(2)
　y = y' - 5　…(3)
としておきます。

で問題は，「移動後の放物線上の点 (x', y') の満たすべき関係(方程式)を求めよ」といっているわけです。
そこで，(2)と(3)を(1)に代入しますと，
　y' - 5 = -3(x'-4)^2 + (x'-4) - 2
という風に (x', y') の満たすべき関係が求まるわけです。
後は展開・整理して，x', y' を改めて x, y と置けば回答と同じになります。

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ちなみに，
y = a(x-p)^2+q
の形にした場合は，(p, q) が頂点の座標を表しています。
移動後の頂点の座標は (p+4, q+5) にならないといけないわけですよね。
したがって，
　y = a {x-(p+4)}^2 + (q + 5)
としなければなりません。

お礼

ありがとうございました。答えは出せましたが、まだ混乱しています。