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至急お願いします。
入学が決まった大学から数学の宿題が出たんですが、自分の習っていない範囲からで、参考書を見ても分かりません… １、ｎを自然数とするとき、 Ｓn＝１＾2＋３＾2＋５＾2＋・・・＋（２nー１）＾2 Ｔｎ＝１/Ｓ1＋２/Ｓ2＋３/Ｓ3＋・・・＋ｎ/Ｓnをそれぞれ求めなさい。 ２、漸化式を解いて一般項を求めなさい。 (1)ａ1＝５, ａ（n＋１）＝３ａｎ＋２＾（ｎ＋１） （ｎ＝１，２，３・・・） (2)ａ1＝０, ａ（ｎ＋１）＝２ａｎ＋ｎ＾2 （ｎ＝１，２，３・・・） です。 よろしくお願いします！！
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- pascal3
- ベストアンサー率42% (25/59)
解答云々よりも、大学の担当者に 「この範囲は習っていません。教科書のどこを見たらいいか教えてください」 と伝えるべきです。 へたに他人の力でそれなりの解答を書いて送ったりしてしまうと、既に理解しているものと大学教員側では受け取りますから、入学後に苦労することになりますよ。 あるいは習っていないつもりで実は習っていたということもありますから、高校の先生に確認するほうが先かもしれませんが。 とにかく理解できていない内容を書くのは危険です。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
＃３です。 少し説明が不足していましたので、問２の漸化式について説明を追加します。 ２ａ） a(n+1) と a(n) の係数が異なるので、階差数列が使えないことを確認します。 また、a(n+1),a(n) 以外の項に、2^n が含まれていますので、漸化式は文字bを用いて次のように書き換えられると仮定します。 a(n+1) + b×2^(n+1) ＝ 3 { a(n) + b×2^n } ⇔a(n+1) ＝3 a(n) b×2^n この式を与えられた漸化式と比べると、 ｂ＝２ ならば一致しますので、 ｂ＝２ を代入して漸化式を変形します。 ２ｂ） 同様に、まず、a(n+1),a(n)の係数が一致しないことを確認します。 次に、a(n+1),a(n)以外の項が nの２次式になっていますので、漸化式は、文字ｐ，ｑ，ｒを用いて、次のように表されると仮定します。 a(n+1) + {p(n+1)^2+q(n+1)+r} ＝ 2 { a(n) + (pn^2+qn+r) } ⇔a(n+1) ＝ 2 a(n) + {pn^2-(2p-q)n-(p+q-r)} この式と与えられた漸化式とを比べると、次の条件が満たされたときに一致することが分かります。 ｐ＝１、２ｐ－ｑ＝０、ｐ＋ｑ－ｒ＝０ ∴ｐ＝１、ｑ＝２、ｑ＝３ 従って、与えられた漸化式は、次のように変形できます。 a(n+1) + (n+1)^2+2(n+1)+3 ＝ 2 {a(n) + n^2+2n+3} ⇔a(n+1) + (n+2)^2 +2 ＝ 2 {a(n) +(n+1)^2 +2}
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
１ａ） Ｓｎについて Ｓｎを次のように分解してみてください。 Ｓｎ＝{1^2+2^2+3^2+・・・+(2n)^2} - {2^2+4^2+6^2+・・・+(2n)^2} ＝Σ[k=1→2n] k^2 + Σ[k=1→n] (2k^2) ＝Σ[k=1→2n] k^2 + 4Σ[k=1→n] k^2 あとは、習った公式で求められますよね。 答えは次のようになると思います。 Ｓｎ＝n(2n-1)(2n+1)/3 １ｂ） １ａ）項で求めた Ｓｎ を使って Ｔｎを表しますと、次のようになります。 Ｔｎ＝Σ[k=1→n] k/Sk ＝Σ[k=1→n] 3/{(2k-1)(2k+1)} ＝(3/2) Σ[k=1→n] {1/(2k-1) - 1/(2k+1)} ・・・・部分分数分解 ＝(3/2) {1-1/(2n+1)} ＝3n/(2n+1) ２ａ） 漸化式を次のように変形すると、等比数列の形に持ち込めます。 a(n+1) + 2^(n+2)＝3 { a(n) + 2^(n+1) } ∴a(n)＝3^(n+1)-2^(n+1) ２ｂ） 漸化式を次のように変形すると、同じように等比数列の形に持ち込めます。 a(n+1) + (n+2)^2 +2 ＝2 { a(n) + (n+1)^2 +2 } ∴a(n)＝3 2^n -(n+1)^2 -2
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
ANo.1ですが、 前の回答にシグマの記号を書いたつもりなのですが反映されていませんでした (大文字Mを反時計回りに90°回したような記号です)。 なので問1の方を書きなおします。 > Ｓn＝１＾2＋３＾2＋５＾2＋・・・＋（２nー１）＾2 (2n - 1)^2 = a_nとおくと S_n = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n となっているので、 S_n = シグマa_k （kは1からnまで） ということですよね。 後はシグマの公式に当てはめてください。 > Ｔｎ＝１/Ｓ1＋２/Ｓ2＋３/Ｓ3＋・・・＋ｎ/Ｓn n/S_n = b_nと置くと (b_nの一般項は、先ほどの答えを利用するとすぐ求まります)、 T_n = b_1 + b_2 + b_3 + … + b_n となります。 なので先ほどと同様に T_n = シグマb_k （kは1からnまで） となります。 部分分数分解という方法を使うと、 この総和を求めることができます。
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
数列をa_n, b_nやS_n, T_nと書くことにします。 > Ｓn＝１＾2＋３＾2＋５＾2＋・・・＋（２nー１）＾2 (2n - 1)^2 = a_nとおくと S_n = a_1 + a_2 + a_3 + … + a_n となっているので、 S_n = ?a_k （kは1からnまで） ということですよね。 後はシグマの公式に当てはめてください。 > Ｔｎ＝１/Ｓ1＋２/Ｓ2＋３/Ｓ3＋・・・＋ｎ/Ｓn n/S_n = b_nと置くと (b_nの一般項は、先ほどの答えを利用するとすぐ求まります)、 T_n = b_1 + b_2 + b_3 + … + b_n となります。 なので先ほどと同様に T_n = ?b_k （kは1からnまで） となります。 部分分数分解という方法を使うと、 この総和を求めることができます。 > ２、漸化式を解いて一般項を求めなさい。 > (1)ａ1＝５, ａ（n＋１）＝３ａｎ＋２＾（ｎ＋１） （ｎ＝１，２，３・・・） > > (2)ａ1＝０, ａ（ｎ＋１）＝２ａｎ＋ｎ＾2 （ｎ＝１，２，３・・・） 参考URLの方を見てください。
