対偶とは？教科書は間違っているのでは

質問

数種の教科書に　p⇒q と、qでない⇒pでない（今後pでないを￢pと書くことにする）　は互に対偶とあったが、これはおかしいのではないか?
￢q⇒￢pの対偶は￢￢p⇒￢￢qでなければならないのではないか。
￢￢pと　pは同じだから良いと云う者がいるが同じとは何かと聞くと同値と答える。
それなら￢q⇒￢pとp⇒qは同値だからp⇒qの対偶はp⇒qでいいのか？
これは駄目と云う、何故と聞くと屁理屈云うな（数学奴はよく屁理屈云うと云われる）
屁理屈ならこの理屈の、どこが如何間違っているか指摘出来る筈と云うとまた屁理屈云うな
（屁理屈とは理屈は正しいが気にいらない）ということかな？
同じが＝と云うことならそれでいいがpと￢￢pは、1記号と３記号で違うし、￢￢pの省略記号がpと考えるなら良いがそれならpは￢￢￢￢pもか・・・・？決まらない
なお直感論理でも対偶と云う言葉が有るがp⇒qから￢q⇒￢pはでるが、￢q⇒￢pからp⇒qは出ない
しかし、￢q⇒￢pとその対偶は￢￢p⇒￢￢qは同値になる。

本当に云いたいのは　今年度の大学入試センター試験　数学I・数学Aの問題
q：|a+b|<1または|a-2b|<2　等の時　「p⇒q」の対偶は「ツ⇒テ」のツを下から選ぶ問題
下に qでない は無い（同値のものはあるが）。
　生徒たちは「アホな出題者」と思いながら同値なものを選ぶだろうから実害はないが問題は間違っている。数学でなければ許されるだろうが数学では許されるべきではない。
多分入試センターでは同値だからと言い訳をするだろうがそれなら、p (下にある）としたものを間違とし得るだろうか？（多分間違いとしただろうが）
　もしqが 1＝1 なら「ツ」として、「125＝14」や「正三角形はπ/3より大きいの頂角を持つ」でも良いのか聞きたい。

回答No.6

Mandheling

定義の適応は厳密に正確である必要があるとのことで、
立ち返って考えてみました。
「対偶」とは、No5さんの言うとおりの操作であること。
また、「否定」の定義はというと、命題を反転する操作。
それをどう表現するかといえば、命題をPとすると、
「Pでない」「￢p」「not P」などとできます。ベン図を用いて表現してもいいですよね。
「Pでない」は、あくまで定義を日本語らしく表現した表現方法の一つでしかないわけです。
じゃあ「「Pでない」の否定」とは、定義に基づくと反転するのですから「P」ですよね。
ですから、教科書の「p⇒q と、qでない⇒pでないは互に対偶」というのは、
なんら定義から逸脱しておらず、間違いではありません。

「￢￢P」「￢￢￢￢P」の表現が間違いだとは言っていません。
これらは全て定義に従った表現であり、どれも正しいのです。
質問者さんは、「定義に従った表現の一つ」を「定義そのもの」と勘違いし、
その型にはめ込んだものしか認められないと思っているのではないでしょうか。
ただ、pと￢￢pは同値だからというのは、なんか説明不足な感があります。
これも質問者さんが疑問に感じてしまった理由の一つではないかと思います。

この質問を見たとき、はじめは違和感を感じながらも質問に納得してたところがあったのですが、
補足見て定義から考えてみたところの結論です。
まだ回答受け付けているようなので回答させてもらいました。

補足

真面目に考えてください。　数学なのですから。、

＞「否定」の定義はというと、命題を反転する操作。

「否定」に定義などありません。記号で云うと￢をその前につけること、
または、その文にの後ろに　でない　をつけること、です。（教科書では後者をさいようしている。）
反転など訳のわからない人により解釈が異なる可能性を排除することが大切なのです。

ベン図はよく説明の為に用いられますが、これはやめた方が良いです。
大学の初年生でベン図が描けないからそんなものはない。という者がいます。論理には色々ありますがベン図は古典命題論理の導入のための便宜的説明図にすぎません。

貴君の対偶の定義は何ですか。

前にも述べていますが、例えば直感論理では　（Pでない）でない　とPとは全くの別物です。
主義、感情、感覚、好み等々を排除していくのが数学の責務なのです。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

ふーむ、面白いですね。

対偶を 前後の命題式の否定を作って前後を入れ替える変換
と定義すると
p⇒q の対偶は ￢q⇒￢p
￢q⇒￢p の対偶は　￢￢p⇒￢￢q
なので、
￢q⇒￢p の対偶は　p⇒q
と教えるのはおかしい、という話なのかな？

￢と￢は相殺して取ることができるという変形は
同値を使っているから、同値変形を自由に使って良いなら

￢q⇒￢p は p⇒q に変形できるので p⇒q も待遇だ

と言いたいわけですよね？

これはこれで筋が通ってないわけではないですが、
これでは考え方が硬すぎると思います。

ある同値変形(同値を利用した式変形)の変換規則の中に
自由な同値変形を含めたら何んでも有りになってしまいます。
かと言って、同値変形を何も認めないと使いにくい。

待遇を同値変形無しで定義しようとすれば

p⇒q ≡ ￢q⇒￢p
￢p⇒q ≡ ￢q⇒p
p⇒￢q ≡ q⇒￢p
￢p⇒￢q ≡ q⇒p

の４パターンないと不便でしょうけど、
否定の否定を取り除く操作を許せば
p⇒q ≡ ￢q⇒￢p
の１パターンだけですみます。

実用性を考えればこんなふうに柔軟性のある
定義が良いと思います。

まとめると
・対偶の定義に同値による変形をある程度認めてもよいが、無制限に認めるのは間違い。

補足

>これでは考え方が硬すぎると思います。
数学は使用法（考え方でない）が硬いからこそ信用出来るのです。

対偶は形式的変換であり、同値（貴君は記号≡を使用されていますが）は論理関係であり使われているシステムが全く異なっています。
これを同じように取り扱うと矛盾が起こる可能性があります。

例　幾何で ΔABC（面積2）とその外部に点Dがあるとし、（本当はもう少し詳しく述べなければならないのですが省略します）ΔBCD≡ΔEFG（面積3）とします。
ΔBCD≡ΔEFGが成り立てば、ΔBCD＝ΔEFGである。ということです。。
しかし、前者のΔEFGは図形であり、後者のΔEFGは面積であり　3　のことです
ここで用いられている≡は図形のシステムの話であり、＝は数の話です。
α＝βはどのシステムでもαとβはsystemを固定すれば、全く同じであり、相互に入れ替えが出来ます。システムを混同すると、図形ABDCはΔABCとΔBCDを合わせた図形ですが、
ΔBCD≡ΔEFGだからΔBCD＝ΔEFG　
従って、図形ABDCはΔABCとΔEFGを合わせた図形ということになります。ΔBCDとΔEFGの場所が違えばこれは駄目ですね。
しかし、面積のシステムでは図形ABDCの面積（5）＝ΔABCとΔEFGを合わせた2+3＝5です。
言葉がどのシステムで使用されているかシステムを混同してはなりません。

これは非常に重要なことです。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

No.2 補足へ

対偶とは p→q を ￢q⇒￢p という形式へ変える形式的な
導出論理式(→で結ばれた論理式)の変換規則です。
この他に逆とか裏とかがあるわけです。
変換には「同値」は使いませんし、同値かどうかも
問いません。あくまで形式の変換です。

対偶が元の論理式とたまたま同値になるというのはまた別の話です。

なので、センター試験の「ツ」が求めているのは
形式的に ￢q です。とても単純な話です。

ではでは。

補足

おっしゃる通り。
私は、対偶は形式的変換で、それに徹するべきであると云っているのですよ。
同値と言い訳しているのは教科書及び、それを検定した文科省、大学入試センター試験や、教科書に何も疑問を持っていない教師、生徒達ですよ。

なお、通常記号　→　は論理システム内の記号で　⇒　はメタな記号として用いられます。　高等学校では⇒をシステム内の記号として教えているようですが区別することは非常に大切なことです。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

前半に関して。

逆はかならずしも真ならず。論理の基本ですね。

補足

形式の問題で、形式的に混乱しているおかしい（これを許している文科省は大丈夫か？）
実害はないかも知れないが、数学なんだから
文科省は威張るばかりが能でなく確りしてくれと言いたかったのです。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>qでない は無い

ありますよ。4 です。

|a+b| ≧ 1 かつ |a-2b| ≧ 2

問題はここからPDFで落とせます。
http://www.dnc.ac.jp/modules/center_exam/content0404.html

>生徒たちは「アホな出題者」と思いながら同値なものを選ぶだろうから実害はないが
同値なのは 2 ですが、もちろん不正解になってます。
http://www.dnc.ac.jp/modules/center_exam/content0381.html

補足

>qでない は無い

ありますよ。4 です。

|a+b| ≧ 1 かつ |a-2b| ≧ 2

残念ながら貴君は数学の厳しさを理解なさっていないように思えます。
対偶の定義を正確に述べて見てください。
定義の適応は厳密に正確である必要があります。

私は「ツ」は「（|a+b|<1または|a-2b|<2）でない」でなければならないと云っているのです。（理由は前半）

貴君のおっしゃる　4 の「|a+b| ≧ 1 かつ |a-2b| ≧ 2」を解答として要求するならば、「ツ」と同値であるものを下記より選び・・・・と問うべきです。

同値と＝を混同するようでは数学とは云えないといっているのです。

回答No.1

Rice-Etude

ご質問の中の
「￢q⇒￢pとp⇒qは同値」---(a)
という解釈が違っていて、あくまで
「￢q⇒￢pとp⇒q『の真理値』は同値」---(b)
ということです。

(a)と(b)の違いの例としては、暗号理論でよく行われる証明可能安全性の議論があります。以下は簡単な概略です。
近代暗号では計算量的に困難である（と思われている）問題をα、提案した暗号や電子署名などのセキュリティ方式をβとした時に
「αを解くのが計算量的に困難⇒βを攻撃（解読）するのが困難」---(1)
を証明する必要があります。このとき、一般的に(1)を直接証明することは難しいので、これの対偶をとり
「βは攻撃（解読）可能⇒αを解くのが計算量的に簡単」---(2)
の証明を行い、(2)が真であることを導きます。ただし、(2)が真なら対偶の関係にある(1)の真理値も真になりますが、実際の世界ではαを解くのは難しい（と信じられている）ので、(2)の世界はあり得ない（と信じられている）ということになります。つまり
・(2)は真理値的には真であるが、実際の世界ではまずあり得ない
↓
・(1)は(2)の対偶なので真理値は真、かつαの性質上こちらがあり得る世界
ということで安全性を証明します。つまり、(1)と(2)が示す世界は同じではないわけです。

お礼

勉強のきらいな私ですが少し勉強する気持ちになりました。
有難うございます。

補足

通常「同値」とは「真理値」が一致するということに用いられます。
とすると(b)は？
古典論理では真理値は1または0が普通ですが、例えば
modal logic（必然性、可能性を入れた論理）では真理値は1と0の間の値をとります。
貴殿のお話は(後期高齢者の私には完全には理解出来ませんが）モダリティーが入った論理と類似しているように感じます。