数学の幾何学について質問です

質問

∑^3_[i,j=1] a_ij*x_i*x_j+2 Σ^3_[i=1] b_i*x_i+c=0 (a_ij=a_ji : i,j=1,2,3)が有心2次曲面のとき、そのグラフ（空集合でない場合）は連立1次方程式
｛a_11*x_1+a_12*x_2+a_13*x_3+b_1=0
｛a_12*x_1+a_22*x_2+a_23*x_3+b_2=0
｛a_13*x_1+a_32*x_2+a_33*x_3+b_3=0
の解（x_1,x_2,x_3)=(d_1,d_2,d_3)を座標にもつ点に関して点対称である。

の証明を教えてください

回答No.1

noname#199771

成分を使わないほうが計算が楽です。

A:(i,j)成分がa_ijである行列
x:第i成分がx_iであるベクトル
b:第i成分がb_iであるベクトル
d:第i成分がd_iであるベクトル
^T:転置
X={x:(x^T)Ax+2(b^T)x+c=0}

という記号を用いて、

A^T=AかつAd+b=0を満たすとき（ただしこの0は0ベクトルの意）、
任意のx∈Xに対して、(x+y)/2=dなるyを取るとy∈X
となることを示せばいいです。

具体的には(y^T)Ay+2(b^T)y+cを計算して0になることを言います。
計算は簡単なので省略します。ご自分でどうぞ。

なお、「有心2次曲面のとき」という条件は使いません。