7段の階段、場合の数の問題攻略法？

質問

7段の階段があります。
　太郎君には3つのオプションがあって、
◇　1段のぼる
◇　2段のぼる
◇　3段のぼる
自由に選ぶことができます。

「では、7段の登り方に、何通りの方法があるのでしょう」
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

・・・という算数の問題がありまして、
答えは添付画像の　２の（２）の通りです。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

教えていただきたいのは、この手の問題への一般的な攻略法です。

以下、私の現状たどり着いた考え方です。

◇１◇　まず、１，２，３の数字をたして、7になる組み合わせは、自力で考える。
◇２◇　次に、その組み合わせ一つ一つの並べかえを行う。　→　そして合計する。

特に　私が悩んでいるのは、◇２◇の考え方です。
（１，１，１，２，２）や、
（１，１，１，１，３）の並べ替えならば、数字が二種類しかないので、場合の数のコンビネーションを使うことができそうです。

しかし、
（１，１，２，３）となると、これは、もはや樹形図を使うしかないのでしょうか。

また、
「どのようなときに、コンビネーションを使用できるか。どのようなときは、地道にやらなければならないのか」　・・・　そこに何か「規則」のようなものはないのかと、考えています。

少なくとも、「数字が２種類ならば、コンビネーションが使える」「３種類以上ならば、手作業でやる」ということは、（合っているとすれば）そこまでは分かりましたが、、、
そうではなく、私の目の付け所がそもそも違って、
もっと、遙かによい・・・「裏ワザ」というか、革新的（？）な、この手の問題への対処法があるような予感もします・・・。

そこで、もしも、そのようなものがありましたら、教えていただきたいと思いました。
・・よろしくお願いいたします！

回答No.2

gomadare75 · ベストアンサー

この問題はコンビネーションなど使わなくても、単純な足し算だけで解けます。
まず、n段への登り方は何通りあるかをF(n)と定義します。するとこの問題はF(7)を求める問題ということになります。

n段目への登り方は、n-1段目から1段登る方法、n-2段目から2段登る方法、n-3段目から3段登る方法の合計になります。
つまり、F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)です。（n>=3の場合）

スタート場所を0段とした場合、0段目から開始なので、登る方法は1通りしかありません。つまりF(0)=1です。
1段目へ登る方法は、0段目から1段登る方法しかないので、F(1)=F(0)=1です。
2段目へ登る方法は、0段目から2段登る方法と、１段目から１段登る方法があります、つまりF(1)=F(1)+F(0)=2です
同様に、3段目へ登る方法は、F(3)=F(2)+F(1)+F(0)=4です。

nが大きくなれば一般項を求める必要がありますが、7くらいなら足し算をした方が早いでしょう。
以下になります。

F(0)=1
F(1)=F(0)=1
F(2)=F(1)+F(0)=2
F(3)=F(2)+F(1)+F(0)=2+1+1=4
F(4)=F(3)+F(2)+F(1)=4+2+1=7
F(5)=F(4)+F(3)+F(2)=7+4+2=13
F(6)=F(5)+F(4)+F(3)=13+7+4=24
F(7)=F(6)+F(5)+F(4)=24+13+7=44

よって44通りです。

お礼

ア～。そうなのです、子どもが、「なんか、こんな感じの方法を聞いたことがある・・」とて、私の前に広げてみせたのが、まさに「教えていただいた」方法でした。

　ただ、私はf(0)から、ごっそり、全てを足すものかと思っていました。
　それで詰まっていました。コンビネーションを使うしか無いかと、諦めかけていました。

　また、このF(0)・・・の方法を使うのは良いとしても、
　「でも、なぜそうなるのか」の理屈は、わからず丸暗記するところでした。

　見やすい、分かりやすいご説明を、どうもありがとうございました！

回答No.1

k_kota

手作業なんかやりません。

コンビネーションは理解しているようなのでそのレベルで説明します。
例としてa,b,cそれぞれを2つずつ並べるとしましょう。
まず、aの置き方は6つから2つを選ぶコンビネーションです。
んで、次はそれにどのようにbとcを置くか。
この時に、aの置き方が決まった時点でaの置きかたそれぞれの場合は独立しています。
要するにb,cをどのように置こうがaの置き方が異なればかぶらない。

そうすると、それぞれの場合で考えられる置き方を数えればいいです。
そうなると4ヶ所空いているところに2個ずつ置けばいい。
ここまで来ればOKですかね。

思いついた式と実際の計算が合うことを確かめてみてください。

ちなみに、これは裏技どころか基礎であり初歩です。

お礼

どうもありがとうございます。
　二つなら、ｃの使い方がわかります。
　三つだと、はてどうして考えたら良いものかで、困っていました。

　もう一度、ご説明を読みながら、理解することが出来ました。

　ご回答、どうもありがとうございました！