場合の数

質問

独学で高校向けの数学を勉強しています。
「袋の中に赤色か白色か青色の玉が４個入っている。全部で何種類の色分けが考えられるか。」という演習問題に取り組んだのですが、まず最初に、１個の玉につきそれぞれ３種類の色のパターンが考えられることから、３＊３＊３＊３＝３＾４＝８１通りとして、その中から同一組み合わせのものを除いていこうとして断念しました。次に、４個の玉には必ず同じ種類の色の複数の玉があることに思い付き、「色が一種類の場合」「二種類の場合」「三種類の場合」のそれぞれの場合の数を考えてみました。色が一種類と三種類の場合はそれぞれ３通りということはすぐに分かり、色が二種類の場合は、（３色から２色を選ぶ場合）3C1＊（４個の玉の２色の組み合わせは、２個の玉を既定の２色に固定して、残る２個の玉の色の組合わせと考え）３＝９とし、３＋３＋９＝１５通りという答えを得ました。しかし、この解き方はいちいちケース分けを必要としますし、色の種類や玉の数が多くなった場合にとても混乱しそうです。何かもっとスマートで優雅な解き方はあるのでしょうか。例えば、色の種類がＮ色で、玉の数がＰ個の場合における玉の組み合わせの場合の数を考えてみました。
Ｎ：１の場合→Ｐが１，２，３…ｐ個と増えるにつれて、場合の数は、１，１，１…１。
Ｎ：２の場合→同様に、場合の数は、２，３，４…(p+1)。
Ｎ：３の場合→同様に、場合の数は、３，９，１５…「？」。
Ｎ：ｑの場合→ｑ，「？」，「？」…「？」
行列表に並べ直してみた場合、法則性というか、一般式で表すことは可能でしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

mb4808

Ｎ色の中から重複を許してＰ個を選ぶ重複組み合わせと考えると、
[N]Ｈ[P]＝[N+P-1]Ｃ[P]です。

この場合、３色から４個を選ぶので
　3Ｈ4 ＝　6Ｃ4 ＝ １５になります。

回答No.1

noname#103103

＞Ｎ：２の場合→同様に、場合の数は、２，３，４…(p+1)。

２色なんだから場合の数はp-1通り。違うかな。

あと○｜○○｜○の並び方の総数ということで6!/2!*4!=6C2=15=3H4(3種類から4個選ぶ)
homogeneous product だったと思う。
全然自信ないけど。