球と球の間の距離の求め方？

質問

図のような絵がかいてあり、上の急が半径R1、下の球が半径R2とすると

球間の距離h(r)は
h(r)=x+r^2/(2a)
a= (R1R2) / (R1 + R2)

となるようなのですが、どうしてこのようになるのでしょうか？
たとえば半径が等しいR1 = R2=Rの場合だと、a = R/2となり
r=Rにおけるh(r)つまりh(R)は
h(R) = x + Rになりますが、実際のr=Rにおける球間の距離はh(R)はx+2Rだと思うのですが・・・。

回答No.1

dame_dame_

まず三角関数を用いて素直に計算してみると
h(r)=x+(R1-√(R1^2-r^2))+(R2-√(R2^2-r^2))
となります

r<<R1,R2として近似式
√(1-x)=1-x/2 (x<<1)
を用いると
R1-√(R1^2-r^2)
=R1(1-√(1-r^2/R1^2))
=r^2/2R1
より
h(r)=x+r^2(1/R1+1/R2)/2
=与えられた式
となります
r<<Rを仮定しているのでr=Rでは成り立ちません

ということだと思います