この積分の解き方を教えて下さい。

質問

次の積分の公式（？）なのですが、どうやったらこのような解が得られるのでしょうか。
xを何かで置換するのでしょうか。どのようにしたら解けるのか、単純なのか複雑なのかも分からず、悩んでおりまして、どうか教えて下さい。お願いします。

∫(1/(a^2 -x^2))dx = (1/2a)ln((a+x)/(a-x))

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

1/(a^2-x^2) = (1/(2a)){ 1/(a+x) + 1/(a-x) } より、
∫ 1/(a^2-x^2) dx = (1/(2a)){ ∫ 1/(a+x) dx + ∫ 1/(a-x) dx } です。
∫ 1/z dz は、計算できますか？

お礼

なんと、あっさり、エレガント！
ありがとう御座いました。これは解くアプローチを勉強する機会になりました。

回答No.4

JOUNIN

No1様の回答がベターですね
最初で部分分数分解できる可能性を失念していました

質問者様はNo1様の回答を参考にしてください

お礼

ありがとう御座いました。JOUNIN様の解法もとても勉強なりました。他の積分公式を確かめるときにも使えそうです。

回答No.3

info22_

I=∫(1/(a^2 -x^2))dx
部分分数分解して
　=∫(1/((a-x)(a+x)) dx=(1/(2a))∫(1/(x+a)-1/(x-a)}dx
　=(1/(2a)){ln|x+a|-ln|x-a|}+C
　=(1/(2a))ln(|x+a|/|x-a|)+C
　=(1/(2a))ln|(x+a)/(x-a)|+C

(注意)
被積分関数(1/(a^2 -x^2))はx≠±aで定義される関数
積分結果の
　(1/2a)ln((a+x)/(a-x)) は x^2<a^2 でしか定義されない関数。
　(1/(2a))ln|(x+a)/(x-a)|はx≠±aで定義される関数。
なので絶対値を付けるか、あるいは場合分けして
x^2>a^2での積分結果を求めておいた方が良いてしょう。

お礼

部分分数分解というのですね。回答頂きありがとう御座いました。
勉強になります。

回答No.2

JOUNIN

x=asinθとまず置換します
このときdx=acosθdθであることも考え

∫{1/(a^2-x^2)}dx
=∫{1/a^2(1-(sinθ)^2)}acosθdθ
=∫{1/a^2(cosθ)^2}acosθdθ
=(1/a)∫(1/cosθ)dθ…(1)

ここで
∫(1/cosθ)dθ
=∫(cosθ/(cosθ)^2)dθ
=∫{cosθ/(1-(sinθ)^2)}dθ

sinθ=tとおくと、cosθdθ=dtであるから
∫{cosθ/(1-(sinθ)^2)}dθ
=∫{1/(1-t^2)}dt
=(1/2)∫{1/(1-t)+1/(1+t)}
=(1/2)ln|(1+t)/(1-t)|

であるから(1)に代入して
(1)
=(1/2a)ln|(1+t)/(1-t)|
=(1/2a)ln|(1+sinθ)/(1-sinθ)|
=(1/2a)ln|(1+(x/a))/(1-(x/a))|
=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|

参考になれば幸いです

お礼

ありがとう御座います。三角関数をもちいるアプローチ、勉強になります。