相対運動の考え方

質問

二つの物体A、Bがあり、Aは鉛直下向き、Bは鉛直上向きに運動し、お互いに接近している運動を考えます。接近し、いずれ衝突し、反発するので、その粒子間の距離が時間的にどのよう変化していくのか知りたいのですが、以下の考えたは間違っているでしょうか？

Bを基準としてAの運動を考える。
つまり速度U= Ua-UbでAがBに接近してくる。
Aについての運動方程式 m1 * a = Fをとく
Aの位置がBの位置と重なったらAの速度を符号反対にしてe倍（はねかえり定数）する。
衝突後もさきほどと同様の運動方程式をとく

Bを基準として考えたので、Aの運動方程式をとくだけでAの位置がもとまり、それがそのまま物体間の距離になるとおもったのですが、どうなのでしょうか？

回答No.3

SKJAXN

問題に「相対的に・・・」のような記述がない限り、あまり相対運動に捉われない方が良いと思います。
下向きを正に取ると、まず衝突前のA,Bの速度をUa,-Ub(貴殿が使用されているので、そのまま使用します)とし、衝突後のA,Bの速度をVa,Vb、衝突係数をe(0≦e≦1)とすると、
e=-(Va-Vb)/(Ua-(-Ub)) →{1}

衝突後のA,Bの運動方程式は、A,Bの質量をm1,m2、重力加速度をg、A,Bの加速度をAa,Abとすると、
A：m1*Aa=m1*g
B：m2*Ab=m2*g →{2}

となり、結局Aa=g、Ab=gです。これより、m1,m2の高さh1[t],h2[t]は、式{2}より、衝突直後の時間をt=0、高さをhoとして、
A：h1[t]=(1/2)g*t^2+Va*t+ho
B：h2[t]=(1/2)g*t^2+Vb*t+ho →{3}

粒子間距離をr[t]とすると、{3}の上式から下式を引いて
r[t]=(Va-Vb)t →{4}

となります。式{1}に着目すると(Va-Vb)の項が含まれていますので、そのまま式{4}に代入すると、粒子間の距離が時間的にどのよう変化していくのかが分かります。すなわち、
r[t]=-e*(Ua+Ub)*t

いかがでしょう？

回答No.2

yokkun831

相対位置のみ知ればよいというのであれば，衝突前後を全く別の運動として別個に考えることに支障はありません。

もし，重力下での運動をお考えであれば，重心は自由落下し，２体は相互作用のもとで近づきそして離れる運動をするわけですが，衝突前後で相互作用が変わらないのであれば，運動は衝突時点に対して時間的に対称な運動をすることになります。重心系で見たこの単純な運動は，自由落下する実験室内が無重力になることからも明らかです。

回答No.1

rnakamra

鉛直上向き、鉛直下向きといっていることから重力が働いていると考えてよいのでしょうか?
もし重力が働いているとするとAについての運動方程式を立てる際に注意が必要です。
それ以外にもBに力が働いているようでしたら注意が必要です。

ここで気をつけて欲しいのは、この方法で求めているのはBに対するAの相対位置であり、Aの位置そのものではありません。
物体間の距離を求めるだけならこの方法で行っても問題は無いでしょう。