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相対加速度の問題について
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- 状況や方程式から得られる結論をまとめます。
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慣性力を考慮すると良い好例です。 地上にいる静止した観察者から観察すると、Ｃの運動は極めて複雑になってしまいます。斜面が動きますから、Ｃの運動方向は、図の 60°の方向とはなりません。しかし、台と一緒に動いている観察者Ｏから見ると、各物体の運動は極めて単純なものとして把握することが可能になります。 Ｃの運動は、斜面に沿って下りますが、Ｏから見ると台は止まっていますから、Ｃの運動方向は斜面に沿った方向そのものとなりますし、Ｂの加速度と同じ大きさで下っています。ただ、αと正反対向きに慣性力が働くので、それを考慮しなければなりません。 以下、台と一緒に運動している観察者Ｏから見た状況を、数式化してみましょう。 Ｂが受ける加速度は、台の加速度αの分だけ変化しますから、相対速度と同じ公式で 相対加速度＝相手の加速度ー自分(観察者)の加速度 より Ａに対するＢの加速度＝β－(－α)＝α＋β です。 左向きを正としました。 Ｃも全く同じ大きさの加速度を受けています。Ｂ，Ｃは糸で繋がっていて、向きこそ違え、同じ運動をしているのですから当然のことです。Ｃの加速度の向きは、斜面に沿って下向きです。それぞれ、右向き，下向きを正として 水平方向の成分は、 大きさが (α＋β)・cos60° で左向き ∴ －(α＋β)/2 鉛直方向の成分は 大きさが (α＋β)・sin60° で鉛直下向き ∴ ((√3)/2)(α＋β) 次にそれぞれの物体について、Ｏから見たときの運動方程式を立てます。添付図を参考にして各物体に作用している力を、向きを含めてきちんと評価します。 Ａに対する、Ｃからの垂直抗力は、右下向きに。そして、滑車を経由して糸の張力の合力が右下向きに掛かってきます。その合力の大きさは Ｔ になるようです。Ａにはこの２力と慣性力が左向きに働いています。ＡはＯから見ると静止したままですから、Ａについて水平方向の運動方程式は、右向きを正として ｍ・０＝Ｎ・cos30°＋Ｔ・cos60°－ｍ・α これを、外部の観察者から見ると、慣性力は無く、加速度もαとなりますから ｍ・α＝Ｎ・cos30°＋Ｔ・cos60° 式（ア） となります。２つの式は見る立場が違うだけで、変形すると同じものであることがわかります。 Ｂに対する運動方程式は、張力と慣性力が働いて α＋β の加速度を受けるのですから、左向きを正として ｍ・(α＋β)＝Ｔ＋ｍ・α 外部の観察者から見ると、慣性力が見えず、加速度がβですから ｍ・β＝Ｔ 式（イ） Ｃに対しては、 水平方向の力は、糸の張力の水平方向成分＋台からの垂直抗力の水平方向成分＋慣性力 ですから 水平方向の運動方程式は、左向きを正として ｍ・{(α＋β)/2}＝－Ｔ・cos60°＋Ｎ・cos30°＋ｍ・α 外部の観察者からは、慣性力が見えず、 Ｃの、Ａに対する相対加速度＝Ｃの加速度－Ａの加速度 ですから ｍ・{(α＋β)/2－α}＝Ｎ・cos30°－Ｔ・cos60° ∴ｍ・{(β－α)/2}＝Ｎ・cos30°－Ｔ・cos60° 式（ウ） となります。 鉛直方向に受ける力は 糸の張力の鉛直方向成分＋台からの垂直抗力の鉛直方向成分＋重力 ですから 鉛直方向の運動方程式は、下向きを正として ｍ・{((√3)/2)(α＋β)}＝ｍ・ｇ－Ｔ・sin60°－Ｎ・sin30° 式（エ） こちらは、左右方向の慣性力が働きませんから、外部の観察者から見ても全く同じ方程式になります。 未知数 Ｔ，Ｎ，α，β の４つに対して、方程式は（ア）～（エ）までの４本有りますから、解けて α＝β＝… Ｔ＝… Ｎ＝… 外部の観察者にとって、Ｃは初速度０で動きだしたのですから、Ｃの加速度の方向がＣの運動方向そのものです。 （ウ）を再評価すると、加速度は０ですから、Ｃの加速度は鉛直下向き成分だけとなり、Ｃは垂直に落下していたことがわかります。
