2物体の相対運動

質問

二つの物体がお互いに接近してきて、衝突する問題についてなのですが、
物体Aが速度ua、物体Bが速度ubで接近してきているとします。
従って相対速度ua+ubで近づくとおもうんですが、このような問題の場合、片方（物体B)を固定して
固定した物体から見た運動として考えることはできないのでしょうか？

つまり物体Aが速度ua+ubで固定されたBに近づくと考えたのですが、
その場合衝突後の速度ははね返り係数をeとするとどうなるのでしょうか？
運動量が保存するのであくまでBからみた運動と考えると完全弾性衝突(e=1)として考えていいのでしょうか？

あとよくこういった2体問題で換算質量を用いられているとおもうのですが、あれの意味はいったいなんなのでしょうか？

素直にそれぞれの物体について運動方程式を考えるだけではいけないのでしょうか？

回答No.3

yokkun831

>二つのやり方があるということでしょうか？

そうですね。今回の問題では衝突時の過渡現象は考えないのでしょうから，相対運動は衝突前後で別に考えればよいと思います。相互作用が変わらなければ時間的に対称な運動になります。ただし，この場合衝突前後で座標系が変わりますので全体の絶対的な運動はこの方法で求めることはできません。

>相対座標系で考える場合、
初期位置、初期速度といった与える情報は全てAとBの相対的な情報となるのでしょうか？

相対座標を用いることで，AとB個別の運動方程式を考えるときに生じる両者の座標のいりまじりを解決することができるのです。あたかも換算質量をもった質点が相対座標にしたがって運動するかのような運動方程式になるので，初期条件はすべて相対座標によるもの（初期相対座標，初期相対速度）でなければなりません。

回答No.2

yokkun831

>Bを基準としてAの運動を追う、これが相対座標だと思っているのですが、ちがうのでしょうか？

そのような特殊な座標系を考えることに意味がないわけではないですが，衝突前後で異なる慣性系に乗り換えることになりますね？　運動の法則が成立するのは終始同一の慣性系においてのみですから，衝突前後で運動の法則が成立しなくなってしまいます。たとえば，衝突現象の解析にとって最重要な運動量保存が成り立ちません。

相対座標による記述は，実は重心系における記述と同値であり，実質的な外力が無視できるような場合は重心系は慣性系にほかなりません。相対位置という特殊な座標を選んだために，「換算質量」なる副作用が現れるのです。

補足

それでは
Aについての運動方程式
Bについての運動方程式
を個々にとき、求めたAの位置とBの位置からA-B間の距離を求めるか

相対座標系を考えて換算質量を用いた運動方程式をといて換算質量を持つ物体の位置（A-B間の距離）を求めるかの二つのやり方があるということでしょうか？

相対座標系で考える場合、
初期位置、初期速度といった与える情報は全てAとBの相対的な情報となるのでしょうか？

回答No.1

yokkun831

>固定した物体から見た運動として考えることはできないのでしょうか？

もちろん可能です。運動の解析を簡略化するひとつの手段といえます。ただし，衝突後はもはや「固定」していないので，衝突前後を一貫したBの立場で追うことはできません。

>衝突後の速度ははね返り係数をeとするとどうなるのでしょうか？

e=1は運動量保存とは無関係で，エネルギー保存ですね。はね返り係数は衝突前後の「相対速さ」の比ですから，どのような慣性系（静止系や）から見ても同じです。

>換算質量を用いられているとおもうのですが、

相対座標を取り入れたときにその副作用として現れるものです。あたかも「換算質量」μなる質量をもつ仮想物体が相対座標にしたがって運動するような運動方程式となるということです。

>素直にそれぞれの物体について運動方程式を考えるだけではいけないのでしょうか？

基本はこれです。もちろん，この考え方でゴリゴリ押し通してもよいのです。ただし，物体が複数になって複雑な系になると，その解析が物体の数とともに飛躍的に難しくなります。そこで，重心の運動方程式と相対座標の運動方程式に分解する…というような工夫がなされているわけです。

補足

回答してくださってありがとうございます。

2つの物体が接近中の運動はBを固定（基準）として考えてもよろしいということですか？
（つまりAとBが接近する運動は、Bが静止でAが速度ua+ubでBに接近している運動と同値とみなせる）

＞ただし，衝突後はもはや「固定」していないので，衝突前後を一貫したBの立場で追うことはできません。
衝突後はBは固定されていないので　というのは分かるのですが、Bを基準として考える（B基準の相対座標）ならば、先ほどのようにBが静止でAが速度ua+ubでBに接近している運動と同値とみなせないのでしょうか？

そもそも、Bを基準としてAの運動を追う、これが相対座標だと思っているのですが、ちがうのでしょうか？