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大学数学、確率の問題です

2011/07/01 23:57

ｎ＞０とする。ｎ人の学生から学生証を集め、よくきってそのｎ人に無作為に返す。この時自分の学生証を手にする学生の人数の期待値を求めたい。確率変数Ｘを自分の学生証を手にする学生の人数、ＸiをＸi＝１・・・i番目の学生が自分の学生証を手にする，Xi=0・・・i番目の学生が他人の学生証を手にする。とする。ただしi=１，・・・，ｎである。（１）P(Xi=1)を求め、Ｅ[Xi]を計算せよ。（２）Ｘ＝Ｘ１＋Ｘ２＋・・・＋Ｘｎであることを用いて、E[X]を求めよ。誰か分かる方。お願いします

katsu05
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数学・算数
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さゆみ（@sayumi0570）
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2011/07/02 13:23 回答No.3

自分の学生証に誰も当たらない場合の数 A(1)＝０　　A(2)＝１　A(3)=2　A(4)＝９　A(5)＝４４ 5人で考えて見ましょうか 5人に5枚の学生証を配るのは　５！通り誰も自分の学生証と一致しない確率４４÷５！　　　約０．３６７ 1人一致するのは（５C1×９）÷５！　　　約０．３７５ 2人一致は（５C2×２）÷５！　　　約０．１６７ 3人一致は（５C3×１）÷５！　　約０．０８３３全員一致は 1÷５！　　　約０．００８３

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さゆみ（@sayumi0570）
ベストアンサー率27% (104/381)

2011/07/02 13:11 回答No.2

あまり詳しくないですけど少し書いてみます人数で変ってきませんか？ A（n）＝（ｎ－１）（A（ｎ－１）　＋A（ｎ－２））漸化式作ってみると自分の学生証に誰も当たらない場合の数 A(1)＝０　　A(2)＝１　A(3)=2　A(4)＝９ A(n)－ｎA(n－１）＝－（A(n－１）－（ｎ－１）A(ｎ－２） A(n)－ｎA（ｎ－１）＝（－１）＾（ｎ－２）×（A(2)－２A(1))＝（－１）＾（ｎ－２）＝（－１）＾ｎｎ！で両辺をわると A(n）/ｎ！－A(n－１）/（ｎ－１）！＝（－１）＾ｎ/ｎ！階差数列になってるので A(n）/n!=０　＋　Σ（ｋ＝２→ｎ）（（－１）＾ｋ/ｋ！） ! A(n)=ｎ！/2!　－ｎ！/３！＋ｎ！/４！－・・・・・・・・・（－１）＾ｎ×ｎ！/ｎ！　（ｎ≧２）ｎ人にｎ枚の学生証を配るのはｎ！通りなので一人も自分の学生証に当たらない確率はｎ！でわって A(n)/ｎ！ 1/2!-1/3!+1/4!-・・・・・・・・(-1)^n×１/n! 一人が自分の学生証と一致するのは（ｎC1×A(n－１））/ｎ！＝A（ｎ－１）/(n-1)!

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