正弦波の式

質問

お世話になります。
添付いたします、文章解説で質問があります。

xの正の向きに進む正弦波の式の文章解説ですが、
読んで理解しようとすると混乱して、理解できません。
（何を言わんとしているか分かりません）

噛み砕いて説明いただけたらありがたいです。

回答No.3

hitokotonusi

拡大すれば読めますね。もう少し手短にそのコピーに沿った形で回答してみます。

波や振動をサイン関数であらわすとき、その中身を位相といいます。sinθのθを位相と呼ぶわけです。

時刻０(t=0)で原点(x=0)の位相が0だったとします。

波がvの速さでxの正方向に移動していると、この位相０の点は時刻t秒にはx=vtの位置にあり,この時刻tはx/vと書けます。つまり、

時刻０で原点にあった位相０の場所は、x/v秒後にxの位置にある。

と言えます。いいでしょうか？

これを逆にxの位置を基準にしてみると、

時刻tにxの位置にある位相０の場所は、x/v秒前に原点にある。

となります。

したがって、xの位置での振動はx/v秒前の原点の振動に等しいので、xの位置での振動は

sin (2π/T) ( t -x/v)

と書けることになります。vTは一周期の間に進む距離で波長λに等しいことを使えば

sin (2π/T) ( t -x/v) = sin 2π ( t/T - x/vT) = sin 2π( t/T -x/λ)

とも書けます。

回答No.2

Quarks

波という現象は、各点の媒質の振動が、時間的にズレて起こる現象ですね。

スポーツ観戦のスタンドで見られるウェーブを思い浮かべるとイメージし易いでしょう。
一人一人が波の媒質を担っています。一人一人は隣の人よりほんの少しだけタイミングをずらして立ち上がったりしゃがんだりを繰り返しています。海面などに起こる波も、全く同じです。

このことを数式で表現したのが、波の式です。
原点に有る媒質の振動（単振動）が、
y=A・sin (2π/T)・t　　式(1)
と表現できるものだったとします。
他の位置に有る媒質の振動は、原点の媒質の振動と"同じ振動"ですが、タイミングがずれています。どの程度のズレなのかを考えてみましょう。
波が速さvでx軸の正の向きに進んでいるものとします。これは、"波形"が速さvで移動していることを意味していますね。
時刻 t=t1 に、原点(x=0)の媒質の変位が y=A だったとしてみましょう。この x=0 で"山"になっている部分は、速さｖでｘ軸の正の向きに進んでいきます。ｘ座標がx1の媒質の位置に、この"山"が来るのはいつでしょうか？
距離＝速さ×時間
の関係を考えると、x1=v・(t2-t1)となる時刻 t2 のはずですね。つまり
t2-t1=x1/v
だけ遅れているわけです。

さて、以上のことを踏まえて、今度は x=x1の位置の媒質の変位 y(x1)を、原点の媒質の運動を利用して表現してみましょう。
時刻 t での x=x1の点の媒質の変位 y(x1,t) は、(x1/v) だけ"以前の"時点における原点の媒質の振動そのものだと考えられますよね。つまり、今 (t) より x1/v だけ以前の時点、つまり
t-(x1/v) の時点における原点の媒質の振動と同じであるわけです。それは、
式(1) の t を t-(x1/v) に置き換えたものという意味です。つまり
y(x1,t)=A・sin (2π/T)(t-(x1/v))
です。x1を一般的な位置 x に改めて置き直すと
y(x,t)=A・sin (2π/T)(t-(x/v))
右辺を変形すると
A・sin (2π/T)(t-(x/v))
=A・sin(2π){(t/T)-(x/(vT))}
定義から vT=λ ですので
y(x,t)=A・sin(2π){(t/T)-(x/λ)}
が得られます。これが、任意の時刻 t における、任意の位置 x での変位 y を与える式、つまり 波の式 なのです。
{　}内の-は、行論から、波がx軸の正の向きに進んでいる場合に対応するのがわかるはずですので、x軸の負の向きにｖで進む波なら
y(x,t)=A・sin(2π){(t/T)+(x/λ)}
となります。

なお、初期位相を含めて
原点の媒質の単振動を
y=A・sin {(2π/T)t+δ}
y(x,t)＝A・sin{(2π){(t/T)-(x/λ)}+δ}
或いは
y(x,t)＝A・sin(2π){(t/T)-(x/λ)+δ'}

y(x,t)＝A・sin{(2π){(t/T)+(x/λ)}+δ}
或いは
y(x,t)＝A・sin{(2π){(t/T)+(x/λ)+δ'}

などとすれば、より一般的な波の式となります。

回答No.1

sanori

こんにちは。
字が潰れてて、よく見えないです。
補足欄に手打ちで書いていただけると、私か他の方々が回答できると思いますが。