正弦波を表す式

質問

物理Ⅰの波の分野に出てきたy=Asin2π(t/T-x/λ)の、意味がとりづらいです。
三角関数の単振動で、
y=rsin(ωt+α)なんて式がありましたが、これは、合成という形でしか理解できてません。

正弦波の表す式に、t/Tと、x/λが何を表しているんですか？
独学で進めています故、困り果てています。
等速円運動はまだやってません。

出来れば、噛み砕いて解説していただければ幸いです。
よろしくお願いします。
もしよろしければ、単位円で考えると、これがこれに対応してって言うのも、知りたいです。
例えば、振幅が、単位円の半径に対応している。みたいな感じです。

是非是非よろしくお願いいまします。

回答No.4

maccha_neko · ベストアンサー

＞t/Tと、x/λが何を表しているんですか？

t/Tというのはある時刻ｔで，Tは周期ですね．
時間を周期で割るということは「何周期分の時間経過してるのかな？」ということです．１秒２秒・・ではなくて基準が信号源の周期（１周期，２周期・・）なわけです．たとえばTが10秒でｔが120秒なら，12周期分，ｔが15秒なら1.5周期時間ということになります．１周期というのは角度にしてやれば2πラジアンですから，これを角度に直せばt=120秒経過すれば2π×12ラジアン，t=15秒経過すれば，2π×1.5ラジアン分進むということになるわけですね．

x/λのxは原点からの距離，λは波長ですね．
xをλで割るということは，「何波長分離れているのかな？」という計算です．たとえばλが10m，xが550mなら5.5波長分離れているということで角度にして（2π×5.5）ラジアンだけかかって到達しているということで，逆に言えば，2π×5.5ラジアン分だけ昔の原点の状態がやっとこさxだけ離れたところに届いたというわけです．

で，今ある時刻tにおいて，xだけ離れた位置がどうなっているのかを考えてみます．（とりあえず届くまでの間の減衰は考えない）

いっぺんに考えると頭が痛くなってしまうので，まずは信号源である原点の角度がどうなっているかというと，最初の検討で，ある時刻ｔでは，2π(t/T)（ラジアン）のところにあることが分かりましたよね？

次にxだけ離れたところにある波というのはどんなものかを考えると，この地点には原点を昔出発した波が今届いているわけです．つまり，今の原点の角度よりも前（昔）の状態が伝わっていっているわけですね．
これが角度にしてどのくらい前なのか・・はさっき計算したように２π（x/λ）ラジアンでしたね．
時間を逆回しするので，引き算します．すると
2π(t／T)-2π（x/λ）=2π（t/T-x/λ)ラジアン
という，なんだかそれらしい値がでてきました．（もう少しです）
ということで，ある時刻ではこの値・・時刻がずれれば当然それに従って角度もぐるぐると回るわけです．あとはsinでもcosでも適当に角度に応じてぐるぐるっという正弦波が出る関数の引数にこれを突っ込んでやればいいわけですが（要するに基準をどこにとるかの違いってだけのことですから別に何でも良いわけです），まぁやっぱり0の時に0・・になるのが格好良いし，それならsinだよね（笑）ということで，sin(2π（t/T-x/λ)）となります．
で，「あっ，これじゃ波の大きさが１に固定になっちゃう！」ということで，大きさを決めるAを掛け算して適当に拡大／縮小できるようにすれば
Asin(2π（t/T-x/λ)）
という式に辿り着くわけです．

お礼

何度も読み直して頭にたたき込みます。
すごいわかりやすくてびっくりしました。
ありがとうございました。

回答No.5

maccha_neko

あぁ・・タイプミスです
＞λが10m，xが550mなら5.5波長分
λが100mなら・・ですね．すみません．

回答No.3

noname#101087

後半は、前半のコピーを編集し忘れ。
謹訂正。
------------------

・時間to を固定してみた場合は、
　　y = A*sin{2π(to/T-x/λ)} = A*sin{φ-2π(x/λ)}
　　　: φ= 2πto/T
の形の距離関数。
「(単位)円で考えると、」A が円の半径、x/λ が単位距離での波数、φが座標原点 (x=0) での位相。

お礼

ありがとうございました。大変勉強になります

回答No.2

noname#101087

>物理Iの波の分野に出てきたy=Asin2π(t/T-x/λ)の、意味がとりづらいです。
> ..............
>正弦波の表す式に、t/Tと、x/λが何を表しているんですか？

直線(x) に沿って伝播する「波形」の数式モデルですね。t が時間変数。

・直線座標xo を固定してみた場合は、
　　y = A*sin{2π(t/T-xo/λ)} = A*sin{2πft-θ) = A*sin{ωt-θ)
　　　: f = 1/T, ω= 2πf, θ= 2πxo/λ
の形の時間関数。
「(単位)円で考えると、」A が円の半径、t/T が単位時間での周回数、θが時間原点 (t=0) での位相。

・時間to を固定してみた場合は、
　　y = A*sin{2π(to/T-x/λ)} = A*sin{φ-2πx/λ) = A*sin{φ-θ)
　　　: f = 1/T, ω= 2πf, θ= 2πxo/λ
の形の距離関数。
「(単位)円で考えると、」A が円の半径、x/λ が単位距離での波数、θが座標原点 (x=0) での位相。

お礼

本当にありがとうございました。
感動の一言ではおさまりませんが、ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

単振動で y=rsin(ωt+α) を「合成」としてしか理解していないというのは, 物理としてはちょっと方向がずれているように思います.
この式は「時刻 t=0 における位相 (角度) が α, 各周波数が ω で振幅 r の単振動」と読めなければなりません.
で Asin2π(t/T-x/λ) ですが, ここに出てくる 5つの記号 A, t, T, x, λ が何を表すものが理解できていますか?

補足

Aが振幅、Tが周期、λが波長で、tは時間、
恥ずかしいながら、xは位置でしょうか？