正弦定理を使って解く問題なのですが、わからない部分が出てきました。

質問

正弦定理を使って解く問題なのですが、わからない部分が出てきました。
問題は測量の問題ですが、正弦定理を使う部分でつまづいてます。

問題：点Aにおいて点Cを零方向として点Bへの水平角Tを観測しよう
したところ、点Bが見通せなかったため、点Pに目標を偏心して観測し、
水平角T′を得た。
水平角Tを求めるための補正量はいくらか。
ただし、偏心角θ＝330°0′、偏心距離e＝6.000m、
点A、B間の水平距離S＝3,000.000m、
p″＝2″×10^５とする。

偏心補正量(x″)は図の△APBにおいて、正弦定理の公式から
e/sinx″＝S/(sin360－θ)
sinx″＝e・(sin360－θ)/S

となって、

sinx″をp″に変えて　　　　　　←質問１
x″＝p″・e・(sin360－θ)/S　　←

x″＝200000″×6m/3000m×sin360°－330°
＝200000″×6/3000×sin30°
　 ＝200000″×6/3000×1/2
＝200″
＝3′20″

図からT＝　T′＋　x″なので、x″は正　←質問２

以上より補正量は＋3′20″である。

質問１
sinx″をp″に変えて　　　　　
x″＝p″・e・(sin360－θ)/S

どうしたらこのような形になるのでしょうか？
【sinx″をp″に変えて】とあるのですが、
sinだけが消えてしまったのでわけがわからなくなりました。

質問２
正と判断できるのは単に3′20″という答えが正だったからでしょうか？

この問題は選択問題でもあるのですが、－3′20″という選択肢も
あったので、どういう基準で正と判断するのかがわかりませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.4

Kules · ベストアンサー

No.1のKulesです。
そうですね、１つずつ解決していきたいと思います。
まずp"ですが、これは他の回答者様が書いているとおり、
ラジアンを秒数に直すための値のようです。

＞私はsin360°－　θをθの内角と捉えて考えてるのですが、
＞間違ってないですよね？
はい、それで間違いないと思われます。
＞内角の値がほしいのに問題や公式は外角が使われてたり
これまた私は測量に明るくないので断言はできないですが、
測量の世界では角度は全て時計回りに取るような決まりがあるのでは
ないでしょうか？
そう考えると図に書かれている角度の形は納得がいきそうです。
TやT'は
＞点Cを零方向として点Bへの水平角T
という形で定めているのでACから時計回りで、
φに関しては点Pからの角度を見たいので
PAから時計回りに見ているといった解釈でしょう。
＞このｘが非常に小さいという判断はどこですればいいのでしょう？
これに関しては考え方がいろいろありそうですが、
そもそも本当はp"≒2.06*10^5であり、問題文で与えられてる値とは3%程度の開きがあります。
じゃあ(sinθ-θ)/θが0.03より小さければ使っていいんじゃね？というのは強引な解釈のような
気がしますが、まあこの辺は適当です。
ちなみに上の計算が3%を超えるのはθ＞0.425ぐらい→24°ぐらいとなります…少し大きいですね。
雰囲気としては他の方も書かれているとおりS≫eとなっている時でしょうね。
ただこれもどの程度なら十分小さいと言っていいかわわかりません。
(実際高校数学の時は、ただし、θが非常に小さい時、sinθ≒θが成り立つものとする。
とか書いてあったりして、その時は結構この変換を何となくの判断で使ったりします)
＞＞図よりで問題ないと思います。
＞図から判断できるものなのでしょうか？
図を見ればT'＜Tであることは明らかです
(T'>Tになるにはφが180°より小さくなければならないことは図からわかりますよね？)
なので「図より」で問題ないと思います。

以上、参考になれば幸いです。

補足

拙い質問にお答えいただきありがとうございます。

すみません、もうひとつ質問させてもらいたいのですが、

＞図を見ればT'＜Tであることは明らかです

そうですよね、図から見たら明らかですよね。
なので、T′に　3′20″を加えれば　Ｔになることはわかります。

＞T'>Tになるにはφが180°より小さくなければならないことは図からわかりますよね？

この180°というのはどこから出てきたのでしょうか？
三角形ＰＡＢの内角の和が絡んでるということでしょうか？

回答No.5

Kules

三度Kulesです。

＞＞T'>Tになるにはφが180°より小さくなければならないことは図からわかりますよね？

＞この180°というのはどこから出てきたのでしょうか？
＞三角形ＰＡＢの内角の和が絡んでるということでしょうか？

T'>Tになるにはこの図の中でBが直線APよりも左側にある必要があります。
で、φ=180°の時A,P,Bがこの順に一直線に並ぶので、
φ>180°ならBはAPの右側(T'<T)
φ<180°ならBはAPの左側(T'>T)
という感じです。

つまり何らかの複雑な計算から出てきたというよりは、
見た感じそうだよね、という話です(笑)

以上、参考になれば幸いです。

お礼

なるほど、とても参考になりました。
最後までおつきあい下さり、ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

>微小角にあてはまるというのはどこで判断すればいいのでしょうか？

図面でいうと、S≫e ならば x" が微小角でしょうね。

お礼

ありがとうございます。
そうですよね、eはＳに比べたら1/500ですものね。
参考になりました。

回答No.2

178-tall

>正弦定理の公式から
>e/sinx″＝S/(sin360－θ)
>sinx″＝e・(sin360－θ)/S
>x″＝p″・e・(sin360－θ)/S　　←

微小角 d (radian) の正弦は、
　　sin(d) ≒ d
と近似できます。(d はradian 表示値)

x" は「秒」らしいので、
　　sin(x") ≒ x"*π/{(180)*(60)^2}

これを
>　sin(x") = e*sin(360－θ)/S
へ代入すれば、
　　x"*π/{(180)*(60)^2} ≒ e*sin(360－θ)/S
　　x" ≒ {(180)*(60)^2/π}*e*sin(360－θ)/S
右辺に移した
　　{(180)*(60)^2/π} ≒ 2.06*10^5
を p" としているようです。

補足

ありがとうございます。
微小角にあてはまるというのはどこで判断すればいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

Kules

え～と…私が測量に明るくないので知らないだけかも知れないんですが。
p"ってなんでしょうか？
また200"=3'20"というのは60進法っぽいんで角度の分、秒と考えていいですかね？

あとθとありますがこれは図のφのことですか？
さらにこの図は問題文にも書いてあるものなのでしょうか？

質問を質問で返すような形になってしまい申し訳ないです。
この辺り補足していただければと思います。

で、ここからはあくまでも推測ですが、
質問１
角度xをラジアンで表している時で、
なおかつxが非常に小さい時sinx≒xという近似をすることがあります。
でそのラジアン表記を度数(今回は秒数かな？)に直す時の係数がp"かなあと思っているのですが…
違いますかね？

質問２
問題文に図が書いてあるのなら図よりで問題ないと思います。
書いてないとしたら…ちょっとわからないです。

以上、参考になれば幸いです。

補足

ご回答をありがとうございます。
＞p"ってなんでしょうか？
すみません、自分でもよくわからないんです。
いつも問題の条件に載せてあります。

＞200"=3'20"というのは60進法っぽいんで角度の分、秒と考えていいですかね？
はい、角度のことです。

＞あとθとありますがこれは図のφのことですか？
そうです。
私はsin360°－　θをθの内角と捉えて考えてるのですが、
間違ってないですよね？
＞さらにこの図は問題文にも書いてあるものなのでしょうか？
問題文と共に掲載されてます。

内角の値がほしいのに問題や公式は外角が使われてたり、
X軸とY軸を高校時代の数学で習った考え方ではなく、逆にして考えたり、
測量はナゾなことだらけで、私も漠然としてます。

＞xが非常に小さい時
このｘが非常に小さいという判断はどこですればいいのでしょう？

＞ラジアン表記を度数(今回は秒数かな？)に直す時の係数がp"かなあと思っているのですが…
この係数を掛ければ６０進法というものに換算できるということですか？

＞図よりで問題ないと思います。
図から判断できるものなのでしょうか？
判断できそうな要素が計算で出た答えによることでしか思いつかないです・・・
(答えにマイナスがついてないからプラスの値で正解？という程度です）

このような状態で補足をしましたので、うまく伝えられてない部分が
あるかとは思いますが、よろしくお願いします。