正弦波の式を求める問題で・・

質問

「x=0における振動が、y(t)=Asin(2π(t/T))で与えられる波が、速度v[m/s]でx軸に沿って進む時、この正弦波を表す式を、波長λ及び周期Tを用いて表せ」
と言う問題なのですが、
確かに、y=Asin2πf(t-(x/v))の式を変換していけば、y(t)=Asin(2π((t/T)-(x/λ)))の式にたどり着く事はわかるのですが、
この問題の意図がよくわかりません。
波の式の求め方は、こんなやり方で良いのか、とても心配です。
例えば、与えられたx=0の値は何のためだったのかと疑問に思います。
同じように、次の問題
「t=0における波形が、y(x)=Asin(2π(x/λ))で与えられる波が速度vでx軸に沿って進む時、この正弦波を表す式を、波長λ及び周期Tを用いて表せ」が続くのですが、
それも同じ考えで変換していくと、
Asin2π((t/T)-(x/λ))と最初の問題と同じ式になり、
答えの「Asin(2π((x/λ)-(t/T)))」とは違うものになってしまいます。

長い質問文ですが、どうかどなたかアドバイスお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

波というのは変位 y(弦の横波なら，弦の各部分の平衡位置からの横方向のずれ)が
形を変えずに伝わってゆくものです
(形を変える波もありますが，今はそういうツッコミはなしにしておきます)．
x 方向に速度 v で伝わる波なら，変位 y が
(1)　　y = g(t-(x/v))
の形で書けます．
t=t_0，x=x_0 での変位が t=t_0 + t_1，x=x_0 + v t_1 の変位と同じになることは
(2)　　g((t_0+t_1) - ((x_0+vt_1)/v)) = g(t_0 - (x_1/v))
からわかります．

◎　t,x がバラバラではなく，
　　いつも t-x/v という組み合わせで現れるところがポイントです．

g の関数形は「まともな」関数なら(至るところ不連続な関数などは無し)
何でも良いのですが，
今の場合は一番ポピュラーな正弦波になっています．

で，波の形を正弦波にした，波の速度 v と周期 T と振幅 A が与えられたとして，
波が完全に決まるか？
波長は v と T から決まりますね．
じゃ全部決まったか？
いやいや，もう一つ位相があります．
x=0 のところを考えることにして，一般には
(3)　　y(t)=A sin(2π(t/T) + θ)
でよいわけです．
つまり，時刻 t=0 のとき，θ=0 なら y=0 ですし，
θ=π/2 なら y=A です．
別の言い方をすれば，いつストップウォッチを押して時間を測り出すかの
不定性が残っていると言ってもいいでしょう．
θ=0 に決めたというのが，問題の
(4)　　y(t)=A sin(2π(t/T))
なのです．
これで，完全に波の様子が決まって，unicornix さんの導かれたような式が出ます．

> 同じように、次の問題 ...

今度は t=0 で
(5)　　y(x)=Asin(2π(x/λ))
というのですから，
◎ に書いたように x のところを t-x/v の組み合わせにすればよいわけで
それには(5)の x のところを x-vt にすればＯＫです．
見かけが違う？
x-vt = -v (t-x/v) と思えば， t-x/v という形で入っているでしょ．
あとは，λ，T, v の関係を使えば，質問文の答になります．

投稿しようとしたら，endlessriver さんのご回答が...
ほとんど同趣旨ですが，合わせて読んでもらえれば理解の助けになりますかね．
endlessriver さん，二番煎じみたいな回答で失礼しました．

お礼

解答ありがとうございます。
順を追った丁寧な説明で理解する事ができました。
しかし、まだ、見ながらでしか理解できていないので、スラスラ頭でイメージして答えれる様にしたいと思います。
どうもありがとうございました。

回答No.3

hitokotonusi

まず、問題の意味についてですが、問題にもいろいろな狙いがあります。昔から『習うより慣れろ』とよく言われていまして、単純な問題を実際に解いて見るほうが10回習うよりも早く習熟出来ることがあります。この問題は、おそらくこのような意図で出されたものです。この問題が何の苦もなく出来てしまうとしたら、あなたにとってはこの問題はやさしすぎたということです。でも、この問題に苦労している生徒もクラスにはいるのではないでしょうか？

ただ、あなたが本当に理解しているかどうかにはやや疑念があります。というのは、もし本当にこの式の意味を理解しているとしたら、

＞与えられたx=0の値は何のためだったのかと疑問に思います。

という疑問は出てこないはずだからです。

今の場合、波はxの正方向にvの速さで伝播しています。したがって、原点をでた波がxの位置に到達するにはtx=x/vだけかかり、結果、txだけ時間が遅れます。つまり、位置xでは時間txだけ前の【原点の振動】が観察されることになります。つまり、原点の振動がAsin(2π(t/T))であるならばxではtxだけ時間軸をずらした振動になりますから、Asin(2π([t-tx]/T))=Asin[(2π/T)(t-x/v)]となるのです。これが原点(x=0)の振動を考える意味です。

次に、

＞答えの「Asin(2π((x/λ)-(t/T)))」とは違うものになってしまいます。

ですが、問題で与えられている『x=0における振動が、y(t)=Asin(2π(t/T))で与えられる波』と『t=0における波形が、y(x)=Asin(2π(x/λ))で与えられる波』が同じ波ではなく、位相がπだけずれています。与えられた波が違うのですから答えが違うのは当たり前ということになります。

お礼

確かにそう言われてみればそうですね。
単に、暗記した正弦波の公式を何も考えずに変形していたので、やっぱり理解できていませんでした。

みなさん、どうも返答ありがとうございました。
なんとか、意味が理解できました。
ただ、まだ曖昧な部分もあるので、何回も読み返して完璧にしたいと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.1

endlessriver

１．疑問が理解できているか判らないのですが、波の波形をy(x,t)とすると、 x=0 で、波形の形を一般的に y(0,t)=f(t)とします。（説明の簡単化のため）
すると、座標x,時刻tではx=0の位置の波形で、現在の時刻 tからx/v時間前、(t-x/v)の波形が届きます。すなわち、
y(x,t)=y(0,t-x/v)=f(t-x/v)となります。
x=0での値はここで使われています。

２．同様にy(x,0)=g(x)の波形はt時間後 x座標が(x-vt)の値が移動してきます。すなわち、
y(x,t)=y(x-vt,0)=g(x-vt)

３．すなわち、表現が f(t-x/v)でもg(x-vt)でも意味する所は同じで、論理の進め方の手順のいきさつによるものと思われます。
波の問題ではこのような面倒を避けるため sin ではなく、 cos　をとっているものも多いとのことです。

お礼

お返事送れて申し訳ありませんでした。
まだいまいち理解できていませんが、何度も問題などと照らし合わせて理解したいと思います。
どうもありがとうございました。