空集合について

質問

空集合の同一性について教えて下さい。

具体的には、
　φ = { x | x ≠ x }　 と定義された空集合と、
　φ = { x | Px ∧ ￢Px }　と定義された空集合が等しいということが
解りません。

そもそも、同じ空集合が存在するということ自体、理解できません。

大変お恥ずかしいですが、お知恵を貸してください。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

集合の「＝」は、集合の中身（要素）が全て等しいかどうかで判定できる、という前提があるからです（要素の並ぶ順序は問わない）。これを外延性公理といいますが、妥当な「決め」だと思いませんか？。

　Ａ＝{ x | Px }，Ｂ＝{ x | Qx }としたとき、Ａは、

　　Pxを満たすxを具体的に羅列したもの．

　Ｂは、

　　Qxを満たすxを具体的に羅列したもの．

と考え、Ａの中身とＢの中身が全て等しければ、Ａ＝Ｂです。

　Ａ＝ { x | x ≠ x }とした場合、x ≠ xを満たすxなんてあるわけないから、Ａは空：Ａ＝{　}。
　Ｂ＝ { x | Px ∧ ￢Px }とした場合、Px ∧ ￢Pxを満たすxなんてあるわけないから、Ｂは空：Ｂ＝{　}。

　集合は中身で決まり、中身がないという意味で、Ａ＝{　}＝{　}＝Ｂだという訳です。だったら中身のない集合は一個に決まるので、φという便利記号を与えよう。Ａ＝Ｂ＝{　}＝φ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

わかりやすい解説をいただき、おかげさまで理解する
ことができました。

ありがとうございました。

回答No.2

noname#221368

#1です。以前、哲学カテでお会いした方ですよね？。ついに集合論の領域にまで、いらしたのですね(^^)。

　自力で命題理論から始め、第一階述語理論（∀や∃）を通過し、事によったら等号付述語理論までやったのでは？、と思います。自分もこの辺りは、ほとんど独学なので、その辛さはわかるつもりです。

　そこで思ったのですが、であれば、前回の応答は余りに技術的過ぎた、と思いました。

＞そもそも、同じ空集合が存在するということ自体、理解できません。

とは、「空なもの」が「存在する」という考え自体に納得できない、という事でしょうか？。だとすれば、もう少し補足情報を下さい。

　完璧な応えは数理哲学の専門家にお任せするしかありませんが、歴史的経緯による考え方のイメージくらいは、お応えできると思います。

お礼

お世話になります。

>#1です。以前、哲学カテでお会いした方ですよね？
はい。以前は、
　【論理学】演繹定理について
にて、ご回答いただきありがとうございました。

大変、わかりやすい解説に、ひたすら敬服いたします。

ご指摘の通り、自力で勉強しておりまして、常に悩んでおります。
もちろん、私以外にも独学で諸々の分野を学習されている方も
多くいらっしゃると思いますが、いかんせん私の場合、もともとの
頭が悪いため、他の方々よりも苦労しております。

>「空なもの」が「存在する」という考え自体に納得できない、という
>事でしょうか？。だとすれば、もう少し補足情報を下さい。
おっしゃる通り、納得できておりません。が、「そういうものだ」と
覚えるしかないかと考えていたところです。つまり、「φ」という
記号により、空集合なるものを人為的に作ったのだ、と。

お言葉に甘えさせて下さい。
新たに、「空集合は存在するのか？」という件名で、質問させて
頂きます。

小生の無知さ加減を露呈しまくっており、恥ずかしい限りですが、
どうぞ宜しくお願いいたします。