「空集合はすべての集合の部分集合である」の説明

質問

忘れていた「空集合はすべての集合の部分集合である。」ということを、ふと思い出しました。

「はて、この証明は…？」ということで、考えたり、調べたりしたのですが、約束ごと（つまり定義）という説明があったり、論理学的に真理値表から導いていたりしていました。

高校の教科書では、「きまり」になっており、厳密な説明がなされていません。

わかりやすい、よい説明があれば教えてください。

回答No.1

Singollo · ベストアンサー

『集合Aが集合Bの部分集合である』とは、その定義から、『どんなxについても、x∈Aならばx∈Bである』と等価です
Aが空集合であれば、その定義から、どんなxについても、必ず『x∈A』は偽となります
命題『PならばQ』は命題Pが偽であれば命題Qの真偽にかかわらず真ですから、『x∈Aならばx∈Bである』も『x∈B』の真偽にかかわらず(すなわち、どんな集合Bについても)真になります

お礼

ありがとうございました。真理値表を使わない説明がありましたら、よろしくお願いします。

回答No.4

jmh

例えば「ｘ∈空集合⇒ｘ∈ｙ」の対偶は、「ｘ∈ｙでない⇒ｘ∈空でない」ですが、この証明として「ｘ∈ｙでないとすると（ｘ∈ｙであろうとなかろうと空の定義によって）明らかにｘ∈空でない」というのは良いですか？

お礼

……なるほど。対偶を使って証明するんですね。

回答No.3

noname#24477

やはり約束事と考えたほうが良いですね。

（Ａ∩Ｂ）⊂Ａ

は常に成り立ってほしいです。

空集合が入っていないと例外を作ってしまうことに
なります。

お礼

わかりました。ありがとうございました。

回答No.2

Singollo

数学というのは個人個人の感覚や常識、信念といったものと無関係に成立する論理性を基盤とします
そのために、証明抜きで使える約束事を定め、それらをすべての前提として証明を組み立てていきます
『真』、『偽』といった言葉を使わず、言い換えることは可能ですが、たとえ言い換えたとしても、証明の前提となる基本的な論理法則は、証明抜きで使わざるを得ないと思います
数学の証明の基本ルールだと考えましょう

お礼

そうですね。丁寧なご説明ありがとうございました。