グラフが空集合とグラフが存在しない

質問

集合の本に、「（写像の）グラフが空集合である」ことと「グラフ（や写像）が存在しない」ことは区別しなければならなく、「グラフが存在しない」に当たるのは、「グラフ全体からなる集合が空集合である」と書いてありました。

グラフが空集合に等しいということは空集合という集合としてグラフが存在していることだと理解していますが、
グラフが存在しないということについては理解できません。

どなたかご教授下さい

回答No.9

stomachman

業務連絡。業務連絡。
No.7さん、ご指摘ありがとうございます。
仰る通り、ANo.6は「関係」（=「グラフ」）についての話ですんで、修正します。
業務連絡終了。
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ANo.6について、修正と追記です。結論は変わりませんけれども、用語を正しく使っていないので。

　「２項関係」とはA×Bの部分集合f⊂A×Bのことで、「グラフ」と「２項関係」は同義です。（以下、「２項関係」を単に「関係」と書きます。）
　「写像」は関係であるばかりでなく、さらに条件が付きます。すなわちANo.6の冒頭の
誤：
> ●「（集合Aから集合Bへの）写像f」ってのは、a∈Aかつb∈Bであるペア<a,b>すべての集合A×Bの部分集合がfである、ということ。
　　A×B = {<a,b> | a∈A ∧ b∈B}
　　f ⊂ A×B

は間違いで、
正:
●「fがAからBへの写像である」 とは ∀x(x∈A ⇒ ∃!y(y∈B ∧ <x,y>∈f)) ということ。

あるいは
●「fがAからBへの写像である」 とは ∀x(x∈A ⇒ ∃y(y∈B ∧ <x,y>∈f ∧ ∀z(<x,z>∈f ⇒ z=y))) ということ。

とすべきでした。つまり、Aの要素xそれぞれについて、<x,y>∈fとなるyがただひとつ存在して、y∈Bである。（なので f ⊂ A×Bであり、従ってfはグラフです。）

　さて、ご質問は(1)「（写像の）グラフが空集合である」ということと、(2)「グラフ（や写像）が存在しない」ということの区別についてです。
　前者(1)は「写像のグラフ」についての話です。実際、Aが空集合の場合には、f = {} はAからBへの写像ですから、グラフfは存在し、それが空集合である、ということです。
　一方、後者(2)の「グラフ（や写像）」とは、（写像もグラフなのですから）写像に限らずあらゆるグラフ（=関係）を指している。それが「存在しない」かどうか、という話です。

・Bが空集合でない場合には、AからBへの写像が必ず存在します。
・Aが空集合の場合には、f = {} はAからBへの写像です。
・Aが空集合でなく、Bが空集合である場合、AからBへの写像は存在しません。
　つまり、「AからBへの写像が存在しない」⇔ 「Aが空集合でなく、Bが空集合である」ってことです。

　しかし、A, Bのどちらかあるいは両方が空集合であってもなくても、f={ } は関係（=グラフ）です。 なので、「グラフ（や写像）が存在しない」ということはアリエナイ。

というわけで、

誤：
> だから、確かにfはAからBへの写像である。（もちろん、AとBがどちらも空集合でない場合なら、f={ }以外にもAからBへの写像が存在する。）


という部分は間違いで、
正：
だから、確かにfはグラフである。（もちろん、AとBがどちらも空集合でない場合なら、f={ }以外にもグラフが存在する。）


とすべきでした。

　で、ANo.6の結論は同じ。「グラフ（や写像）が存在しない」ということはアリエナイ。f={ }はグラフだからです。

回答No.8

jmh

単に…
「（○○な）グラフが存在しない」＝「（○○な）グラフ全体からなる集合が空集合である」
…という意味だと思いまーす。

回答No.7

tmpname

No.6さん
「fがAからBへの写像とはなにか」について、重要な条件をお忘れです。fは単にA×Bの部分集合、というだけではないですよね。
まあ「写像」でなくて単に「関係」を述べているのであれば、理解できなくはないですが、わざわざ「（写像の）グラフ」と言っていることですし。

回答No.6

stomachman

●「（集合Aから集合Bへの）写像f」ってのは、a∈Aかつb∈Bであるペア<a,b>すべての集合A×Bの部分集合がfである、ということ。
　　A×B = {<a,b> | a∈A ∧ b∈B}
　　f ⊂ A×B

●「(集合Aから集合Bへの)写像fのグラフG」とは、(a∈Aかつb∈Bかつ<a,b>∈f)を満たすペア<a,b>の集合のこと
　　G = {<a,b> | a∈A ∧ b∈B ∧ <a,b>∈f }
もちろん
　　G = (A×B) ∩ f
なので当然、
　　f = G
である。（だから「グラフ」なんて用語は本来不要です。）

　で、ある写像fについて、「(集合Aから集合Bへの写像fの)グラフGが空集合である」とは、
　　f = { }
のこと。
　ですから、ご質問に仰る通り、「グラフが空集合に等しいということは空集合という集合としてグラフが存在していることだ」というご理解は正しい。

　一方、「グラフGや写像fが存在しない」というのはアリエナイ話である。というのは、どんなA, Bについても写像 f={ } が存在し、当然そのグラフG={ }も存在する。なぜなら、
　　f = { }
は任意のA, Bについて
　f ⊂ {<a,b> | a∈A ∧ b∈B}
を満たす。特にAかBが空集合の場合で確かめると、この右辺は空集合{ }になるけれども、
　　f = { }
はその部分集合
　　f ⊂ { }
だから、確かにfはAからBへの写像である。（もちろん、AとBがどちらも空集合でない場合なら、f={ }以外にもAからBへの写像が存在する。）

　すなわち、「グラフが存在しない」というのはアリエナイこと（矛盾）を述べた偽の命題である。なので、「グラフが存在しないということについては理解できません」と仰るのももっともなことである。

　かくて、ご覧の本の言う『「グラフが空集合に等しい」（そういう写像は確かに存在する）という命題と、「グラフが存在しない」（そんなことはアリエナイ）という命題は区別すべきだ』という主張は正しい。

回答No.5

ramayana

「（写像の）グラフが空集合である」と言うときは、すでに写像の存在（and グラフの存在）を前提にしているわけですから、「グラフ（や写像）が存在しない」ということと相容れないのは明らかです。

「写像のグラフが空集合である」や「写像が存在しない」というのは、特殊な状況ですから、それがどんな状況なのか、整理しておくとよいでしょう。

X と Y を集合とし、 X から Y への写像を考えます。

(1) 　（写像のグラフが空集合となる状況）

写像のグラフが空集合となるのは、その写像が空写像の場合に限られます。X が空集合のとき、Y がどんな集合であっても、X から Y への写像は、空写像ただ１つです。

(2) 　（写像が存在しない状況）

X が空集合以外で、 Y が空集合のとき、X から Y への写像は存在しません。

(3)　（その他の状況）

X も Y も空集合以外のときは、X から Y への写像は 1 つ以上存在し、かつ、どの写像のグラフも、空集合以外です。

回答No.4

B-juggler

難しく考えすぎている気がするけれど。

単純に例を挙げて考えて見ましょう。

どっちでもいいのだけれど、グラフで行こうか。

　厳密に言うと、有指向性グラフになるのかな？
　そこまでする必要もないかな？

ちょっと下に絵を書く。

三点ＡＢＣというのを存在させるときに、ＡからＢへの経路（枝でもいいのかな）
　＃シンプルパスだと、有指向性になるのか？　
がない、と考えます。

これは「グラフが存在していない」って言うことになるね？
　ＡからＢへの（自明だから略）
ここはダイジョウブ？

では、グラフ全体を考える。ありとあらえる経路を考えるわけね。

このときに「ＡからＢへのグラフが存在していない」ってことは、
ＡからＢへのグラフを、全てどける（なくしてしまう）ってことだね。
これはいいかい？　図では書いているグラフ以外にはなくなるってことね。

なくしてしまっても存在していることは確かだね？

今定義しているところでは　ない　わけだ。

さぁどう考えるか？　ここで空集合って言う便利なものを使う。

こんな感じで思ってみたらどうかな？

多分、全部がない（ＡからＣとか、ＢからＣとかね）と思ってしまっているんじゃないかなぁ？

全てないとは書いてないわけでね。部分的にない例が挙げられるから、

これを拡張してなんとなく分かっておけばいい話な気がするよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

実際は写像のほうが考えやすいと思うよ。

分からないときは、具体例を考える！　これは一つの手だと思うけれど・・・。

あんまり自信はこの頃ないけれど、元非常勤の代数学講師。

回答No.3

tmpname

では逆に質問しますが、あなたが理解しているという「空集合という集合としてグラフが存在している」というのはどういう状況でそれが起こり得る（と理解している）か説明していただけますか？

回答No.2

tmpname

言葉通り、集合Aから集合Bへの写像がひとつも存在しない、というのは、「集合Aから集合Bへの写像全部を集めると、それは空集合」というのは問題ないと思いますが。

それとも、「集合Aから集合Bへの写像がひとつも存在しない」というのがどうゆう状況か良く分からん、というのであれば、集合Aが空集合でなく、集合Bが空集合の時何が起こるかを（写像の定義から）考えてみてください。

補足

質問と違うような・・・

回答No.1

uyama33

本の名前、著者、出版社
書いてあるページ

を明らかにしてください。