ラプラス変換の問題です

質問

(s＾2-π＾2)/(s＾2+π＾2)＾2の逆変換を
求めよという問題なのですがどのように解答したらよいのでしょうか？

ちなみの答えはtcosπtになるそうなんですが・・・・・
解答方針が分からなくて困ってます

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

公式
∫[0,∞] cosπt e^(-st)dt=s/(s^2+π^2)
の両辺をsで微分
∫[0,∞] cosπt (-t)e^(-st)dt=s'/(s^2+π^2)+s{1/(s^2+π^2)}'
　　=1/(s^2+π^2)-2s^2/(s^2+π^2)^2
　　=(π^2-s^2)/(s^2+π^2)^2
∴∫[0,∞] tcosπt e^(-st)dt=(s^2-π^2)/(s^2+π^2)^2
ラプラス変換の定義式
∫[0,∞]f(t)e^(-st)dt=F(s)=(s^2-π^2)/(s^2+π^2)^2
と比較することにより

f(t)=L^-1{F(s)}= t cosπt (t≧0)

と求まる。

お礼

回答ありがとうございました

解答を自分で確認してもう一度解いてみます

回答No.1

okormazd

ふつう、ラプラス逆変換は、ほとんど難しい計算をしなくて済むように、変換表を使う。変換表にそのままの式がない場合は、
変換表の式に合わせるため、いくらか式変形などの計算が必要になる。
が、
質問の場合、たいていの変換表にそのまま出ている式です。

F(s)が、
(s＾2-a＾2)/(s＾2+a＾2)＾2

とかになっていて、
f(t)が、
tcosat
です。

a=π
になっているだけです。

お礼

回答ありがとうございました

教科書には載っていませんでした
ので困っていました