減衰運動

質問

「減衰運動において力学的エネルギーの減少する割合はどのように表されるか、運動方程式にx’をかけることにより求めよ。」

という問題があります。

私の答えは、dU/dt=-mx’’x’ となりました。

合っているかどうか教えてください。また、間違っている場合は正しい答えと解説をお願いします。

回答No.1

cyototu · ベストアンサー

答えは、特殊な位置エネルギーと特殊な初期条件の場合を除けば指数関数的減衰です。

簡単のために、問題は１次元空間の中だけで起こる運動として説明します。多次元空間での運動は、全てべクトルで考えなくてはなりませんので、計算が複雑になりますが、計算の仕方は実質的には同じで、だから、特殊な場合を除いて指数関数的減衰のと言う答えは変わりません。

多くの減衰運動では力Fは速度に比例しますので、

F = -γx'

と仮定します。ここでγは定数であり、減衰定数と呼ばれているものです。後で解るように、それは正なら時間と共に減衰し、負なら増大してしまうので、γは必ず正の定数です。そうすると運動方程式は

　m dx'/dt = -γx'

となります。この両辺にx'を掛けると、

　2x'dx'/dt = dx'^2/dt

ですから、

dx'^2/dt = -[γ/(2m)]x'^2

となります。

そこで

y ≡ x'

σ≡ [γ/(2m)]

と、変数と常数を置き換えることにすると

dy/dt = -σy

となりますから、y = C exp[-σt] となることが、この式を直接代入すれば解りますね。但し、ここでCは時間によらない定数です。

だから、

　x'^2 = C exp（-σt）

となって、σが正なので、この速度v = x'は減衰します。

また、運動が１次元であると仮定したので、この結果から

　x'（t） = ±C exp(-σt/2)

となり、従って

　x（t） = ±(2C/σ) exp(-σt/2)　＋ C'

となります。但し、C'はCとは独立な積分定数です。プラスかマイナスの符号は例えば、t＝０の初期の速度がx'(0)=v_0だとして、それを直ぐ上の上の式に代入すると、

v_0 = ±C

となりますから、その値で符号のどちらかが決まります。その結果、位置も

x'（t） = v_0 exp(-σt/2)

x（t） = (2v_0/σ) exp(-σt/2)　＋ C'

となって、±の符号は解の中には現れない形式でも欠けます。更に、C'のあたいは、x の t=0 のときの初期値をx_0とすると、その式を直ぐ上の式に入れて得られる式、

　x_0 = 2v_0/σ ＋ C'

から、

　C' = x_0 - 2v_0/σ

であることが解ります。

さて、その結果、位置エネルギーをV(x)とすると力学エネルギーEは、

E(t) = m[v(t)]^2/2 + V[x(t)]

= m[(v_0)^2 exp（-σt）]/2 + V[(2v_0/σ) exp(-σt/2)　＋ C']

となり、運動エネルギーは寿命時間が１／σぐらいの所で指数関数的に減衰して０に近づき、、また、位置エネルギーは大体、時間が１／（２σ）の辺りで　x　が一定値の所に来た値の近傍に留まります。そして、tが十分大きくなると，Eは指数関数的に

　E(t) -> V(C') = V(x_0 - 2v_0/σ)

の値に近づいて行きます。

だから、位置エネルギーがxの余程変わった関数でない限り、この力学的エネルギーはし数kん数的に振る舞います。

しかし位置エネルギーがとても変わってい、その関数の形が、

　V(x) = A ln(x)

という、eを底にした対数関数だとして見ましょう。但し、Aはエネルギーの物理的次元を持った常数です。さらに、t＝０のときの初期条件がまた特殊で、v_0 > 0　であり、さらに

　　C' = x_0 - 2v_0/σ = 0

と言う特別な場合を考えたとします。そうすると力学的エネルギーは

E（t） = m[(v_0)^2 exp（-σt）]/2 + A ln[(2v_0/σ) exp(-σt/2)]

= m[(v_0)^2 exp（-σt）]/2 + A ln[(2v_0/σ)] - Aσt/2

となって、指数関数的には減衰ずに、tに比例しながらその絶対値はどんどん大きくなって行きます。

だから、その特殊な場合には、必ずしもエネルギーの絶対値は減衰せず、その反対に増大してしまうことも在ります。

だから、この宿題の正解は、

「先生はどのように減衰するかと聞いておりますが、その聞き方は間違いです。何故なら、特殊な場合にはエネルギーの絶対値の値が増大してしまうことも在るからです」

と一言入れて置くのが正しい。

そこまで書いて置いたら、先生は１００満点の問題で貴方に１２０点くれるかもしれませんよ。

以上

お礼

むずかしいものですね＾＾；

とても参考になりました。

回答No.2

cyototu

#1に誤植がありました。上から５番目の式は、

y ≡ x'^2

と読んで下さい。他にはもう誤植がないと思いますが、もし見のがしていたとしても、論理を追えば、ご自分でそれを修正出来る筈です。

お礼

了解です