振り子に働く減衰力について

質問

今、長さlの棒の先に質量mの重りをつけた振り子がある(θは十分小さいとする)、という条件の下、摩擦力が存在しない場合のθに関する運動方程式(θ''+g/l・θ=0)とそれから導出される角周波数ω(ω＝√g/l)は導出できたのですが、次の問題が分かりません。
(1)重りの運動速度vと質量mに比例する減衰力F＝-γmvが加わった場合のθに関する運動方程式は？
(2)減衰力γが小さいとして最大振幅θmaxが初期値の半分になる時間は？
という問題です。分かる方がいましたら教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.2

akn1aj · ベストアンサー

なるほど、#1に紹介されているサイトは一度眼を通しておいたらよいでしょう。
それで、一般論はいいから、結局どうなの…が質問者の知りたいところではないでしょうか？…読んで考えればわかる。…確かに。でも参考になるよう、理解を深めるように答えてみます。

(1)減衰力がブレーキとなるのだから、θ'' + ω^2・θ= 0…(1)に対しv = l θ' なので、 mlθ'' + mγl θ' + mgθ= 0… (2) で　θ'' + 2ζθ' + ω^2・θ= 0…(2)' となります。ここで、ζ= γ/2…(3)です。(2)'の特性方程式：t^2 + 2ζt + ω^2・t= 0…(2)''の解より（振動解なので）t = -ζ±iω√{1 - (ζ/ω)^2} ≒ -ζ±iω [∵減衰力γが小さいので1 - (ζ/ω)^2≒ 1] …(4)。t = 0 のとき θ = θmaxとして、(2)' の解：θ = θmax・e^(-ζt)cosωt…(5)。求める時間をTとして、e^(-ζT) = 1/2…(6)[最大振幅θmaxが初期値の半分になる時間は、減衰力γが小さいのでよい近似でenvelope：包絡線を考える。] よって、T ≒ ln2/ζ= 2ln2/γ…(6)。こんなとこかな、後はよく検討して下さい。

お礼

ご丁寧に解説していただきありがとうございました。

回答No.3

abyssinian

てか、丸投げには丸投げでNO1はすごい適切だと思います。

僕の経験でなんだけど、減衰項がある二階微方を解くプロセスが理解できるのはもっとずっと先だと思う。他の様々な知識が付いたあと、なにげに微方の本を読むと突然分かるときが来るよ。
それまでは、二次方程式の根の公式のように、結果の式だけがすぐ見れるサイトを保存しておけばいいよ。振動の図が詳しいのが良いよ。
この形の微方が出るのは今だけじゃないこの先ずっとだから。

回答No.1

KENZOU

次のサイトに詳しく載っています。
http://www.acoust.rise.waseda.ac.jp/
　　　　　↓
伊藤毅著「音響工学原論」
　　　　　↓
　　第１章振動理論

参考URL：

http://www.acoust.rise.waseda.ac.jp/

お礼

非常に参考になりました。ありがとうございました。