グラフの凹凸とy'とy''

質問

y=f(x)のグラフの凹凸を調べるのに必要なのはy''だけですか？

いまいちy''をもとめる必要性が分かりません。数学２ではy'までで増減表も書けたのに。

最大値や最小値をもとめる際にはy''は求めなくてもいいですよね。

低レベルな質問ですみませんがおしえてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

ｙ’＝０　は、増える⇒減り始める　あるいは、　減る⇒増え始める　の境目です。
この境目では、ｙは極小値か極大値を取ります。

ｙ’’＝０　は、上に凸⇒下に凸　あるいは、　下に凸⇒上に凸　の境目です。
この境目は「変曲点」と呼ばれます。

ただし、ｙ’＝０　のポイントと　ｙ’’＝０　のポイントが一致すると、上記のようにならなくなる場合があります。
たとえば、ｙ＝ｘ^3　は、ｙ’＝０　も　ｙ’’＝０　も　ｘ＝０　のポイントになり、
増える⇒減り始める　のポイントにも　減る⇒増え始める　にもなりません。
ｘ＜０　では、「増える」「上に凸」、
ｘ＝０　では、一瞬、増えも減りもしない、
ｘ＞０　では、「増える」「下に凸」
となり、一度も「減る」にはなりません。

＞＞＞最大値や最小値をもとめる際にはy''は求めなくてもいいですよね。

（最大値、最小値ではなく、極大値、極小値だと思うのですが）
上に書いた　ｙ＝ｘ^3　のグラフでは、ｙ’＝０　で極大値にも極小値にもなりませんよね？
なぜならば、減ることが一度もないのですから。
ｙ’＝０　と　ｙ’’＝０　のポイントが一致すると「怪しい」です。

そういう意味では、ｙ＝ｘ^4　も同様に「怪しい」のですが、こちらは、増減の仕方と変曲点が、ｙ＝ｘ^2　とまったく同じになります。

ｙ’’　を求めることは、「怪しい」かどうかをひとまず一次判定することには役立ちます。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

hiccup

>> y=f(x)のグラフの凹凸を調べるのに必要なのはy''だけですか？

そうです。

y' から y の「増えつつある」「減りつつある」が判断できるなら、
y'' から y' の「増えつつある」「減りつつある」が判断できるわけです。
グラフでいえば、y' が増えつつあるとは傾きが大きくなりつつあること、すなわち接線が反時計回りに変化することを意味し、そこから下に凸だとわかります。
逆に y' が減りつつあるとは傾きが小さくなりつつあること、すなわち接線が時計回りに変化することを意味し、そこから上に凸だとわかります。

少し進んだところから述べると、

y=f(x) が x=p のとき y=q になるとします。つまり q=f(p) 、グラフでいえば点 (p,q) を通るとします。
さらに f''(p)=2a 、f'(p)=b としておきます。

すると、x=p のとき y=q になるような高々２次の関数のうち、x=p の付近で y=f(x) にもっとも近いものが

y=a(x-p)^2 + b(x-p) + q

なのです。グラフにかくと、点 (p,q) に近づけば近づくほど両者は見分けがつかなくなります。a<0, a=0, a>0（f''(p)=2a としていた）に応じてこのグラフのカーブの様子（上に凸かまっすぐか下に凸か）がわかるので、y=f(x) のグラフが x=p の付近でどのようにカーブしているかが判断できるわけです。
もしもあなたがグラフをかくソフトを持っているなら、具体的な y=f(x) と y=(f''(p)/2)(x-p)^2 +f'(p)(x-p)+f(p) (pの値をいろいろ変えてみる）のグラフをかいてみると、それを実感できるでしょう。

ちなみに、x=p のとき y=q になるような一次関数のうち、x=p の付近で y=f(x) にもっともそっくりなものは言わずもがな

y=b(x-p) + q

です。

>> 最大値や最小値をもとめる際にはy''は求めなくてもいいですよね。

単に最大値や最小値を求めるだけなら y'' まで求める必要はないでしょうね。

お礼

ありがとうございました。