三角関数の問題です。

質問

a は実数として角度 x を求めようとする時、

cos^2 x = a の時は
cos x = √a
x = acos √a

になりますよね。
では、

(1/cos^2 x ) - cos^2 x = a

の時はどうやってXを求めるasin, acos, atan にたどり着いたらいいのか分かりません。
計算過程も含めて教えてください。

30年ぶりに三角関数に取り組んでますが、エクセルにxを求める数式が入力できなくて困っています。

回答No.2

info22_

>cos^2 x = a の時は
>cos x = √a
>x = acos √a

>になりますよね。
となりません。
cos^2 x = a
解が存在するのは「0≦a≦1」の場合に限ります。
その場合
cos x=±√a (0≦a≦1)

cos x=√a (0≦a≦1)の時は x=±cos^-1 √a +2nπ (nは任意の整数)
cos x=-√a (0≦a≦1)の時は x=π±cos^-1 √a +2nπ (nは任意の整数)
となります。

>(1/cos^2 x ) - cos^2 x = a
cos x = t（0<|t|≦1,x≠nπ+π/2(nは任意の整数)）とおけば
(1/t^2)-t^2=a
t^4 +at^2 -1=0
t^2>0なので
t^2={√(a^2 +4)-a}/2
このtが「0<|t|≦1」となるaの範囲は「0≦a<∞」

前半の式のaをt^2={√(a^2 +4)-a}/2で置き換えれよいから

a≧0で解が存在し
cos x=[{√(a^2 +4)-a}/2]^(1/2) の時は
x=±cos^-1 [{√(a^2 +4)-a}/2]^(1/2) +2nπ (nは任意の整数)
cos x=-[{√(a^2 +4)-a}/2]^(1/2)の時は
x=π±cos^-1 [{√(a^2 +4)-a}/2]^(1/2) +2nπ (nは任意の整数)
となる。

お礼

ありがとうございました。
立体での角度測定なので
a≧0
になることを失念しておりました。

丁寧なご回答に感謝です。

回答No.1

spring135

(1/cos^2 x ) - cos^2 x = a

1 - cos^4 x = acos^2 x

cos^4 x + acos^2 x - 1 =0

cos^2x=Yとおくと

y^2+ay-1=0

2次方程式の解の公式より

y=(√(a^2+4)-1)/2

あとは質問者が最初に書いている順序で計算すればよろしい。

お礼

簡潔でわかりやすい回答ありがとうございました。
助かりました。